PEMAHAMAN RELASIONAL DAN PEMAHAMAN INSTRUMENTAL (BAB 12 THE PSHYCOLOGY OF LEARNING MATHEMATICS Terjemahan Buku Richard Skemp)

FAUX AMIS

Faux amis adalah suatu istilah yang digunakan oleh bangsa Prancis untuk mendeskripsikan suatu kata yang sama atau mirip dalam dua bahasa, tetapi makna kata tersebut berbeda. Sebagai contoh:

Kata Bahasa Prancis	Arti dalam Bahasa Inggris
Histoire	Story, bukan history
Libraire	Bookshop, bukan library
Chef	Head os any organisation, bukan hanya chief cook
Agrement	Pleasure atau amusement, bukan agreement
Docteur	Doctor (higher degree), bukan medical practitioner
Medecin	Medical practitioner, bukan medicine
Parents	Relations in general, termasuk parents

Seseorang mendapatkan faux amis diantara bahasa Inggris sebagai perkataan dari bagian berbeda di dunia. Seorang dari Inggris menayakan di Amerika tentang biskuit yang diberikan sebagai cake. Padahal orang tersebut meminta kukis sebagai biskuit. Istilah bahasa Inggris yang juga terdapat dalam matematika dan kehidupan sehari-hari misalnya kata group, ring, field, ideal.

Seseorang yang tidak menyadari bahwa kata yang dia gunakan adalah faux amis yang dapat membuat kesalahan. Seandainya kami berharap history adalah hal yang dimaksud dan bukan story. Namun ketika kami dapat mengambil buku tanpa membayar dari perpustakaan, tetapi bukan dari sebuah toko buku, dan sebagainya. Pada contoh tersebut terdapat isyarat yang mungkin menempatkan satu kewaspadaan dalam perbedaan bahasa, negara, atau konteks.

Namun, jika kata yang sama digunakan di negara, bahasa yang sama dan konteks, dengan dua arti yang berbeda adalah suatu hal yang tidak remeh, tapi suatu hal mendasar seperti perbedaan antara makna (katakanlah) 'histoire' dan 'history' yang berbeda antara fakta dan fiksi. Hal ini mengakibatkan seseorang mungkin mengahdapi kebingungan yang serius.

Perbedaan tersebut juga dapat terjadi dalam konteks matematika. Salah satunya adalah kata “pemahaman”. Hal ini yang membedakan dalam penyebutan istilah 'pemahaman relasional' dan 'pemahaman instrumental'. Pemahaman relasional dapat diartikan sebagai pemahaman dengan mengetahui apa yang dilakukan dan mengapa melakukan hal tersebut. Pemahaman instrumental sebenarnya tidak dianggap sebagai pemahaman sama sekali. Penjelasan ini seperti pada 'aturan tanpa alasan,' tanpa disadari bahwa banyak murid dan guru memiliki aturan tersebut dan kemampuan untuk menggunakannya.Namun apakah hal ini layak disebut sebagai 'pemahaman'.

Misalkan seorang guru mengingatkan siswa bahwa luas persegi panjang adalah A = L x B. Seorang murid mengatakan dia tidak mengerti, sehingga guru memberinya penjelasan. "Rumus memberitahu kamu bahwa untuk mendapatkan luas persegi panjang, kamu kalikan panjang dengan lebarnya." "Oh saya tahu,." kata anak, dan melanjutkan latihan. Jika kita sekarang mengatakan kepadanya (yang berlaku) "Anda mungkin berpikir Anda mengerti, tetapi Anda tidak bersungguh-sungguh," ia tidak akan setuju. "Tentu saja aku lakukan Lihatlah,.Aku punya semua jawaban yang benar."

Kita semua bisa memikirkan contoh semacam ini: 'meminjam' dalam pengurangan, 'putar balik (pembilang jadi penyebut dan penyebut jadi pembilang) dan kalikan' untuk pembagian dengan pecahan, 'bawa ke sisi lain dan ubah tanda' dalam persamaan linier adalah sesuatu yang jelas, tetapi sekali konsep tersebut telah terbentuk, contoh lain dari penjelasan instrumental dapat diidentifikasi dalam suatu teks yang berlebihan dan panjang lebar. Berikut ini adalah dua contoh teks yang digunakan oleh sekolah.

1.      Contoh pada perkalian pecahan

Untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, kalikan dua pembilang secara bersamaan untuk mendapatkan hasil kali pada pembilang, dan kalikan dua penyebut secara bersamaan untuk mendapatkan hasil kali pada penyebut.

Sebagai contoh:

2/3 dari 4/5 = (2 x 3)/(4/5) =8/15

 Tanda perkalian (x) pada umumnya digunakan sebagai pengganti kata 'dari.'

2.      Lingkaran

Keliling lingkaran ditemukan dengan pengukuran dari tiga kali lebih sedikit dari panjang diameternya. Dalam sebarang lingkaran, nilai keliling lingkaran adalah nilai pendekatan 3,1416 kali diameter (kira-kira  kali diameter). Tak satu pun dari angka-angka ini adalah tepat, karena bilangan yang tepat tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian atau desimal. Bilangan ini direpresentasikan dengan huruf Yunani  (pi).

Contoh lain dari faux amix, Jika sekolah A mengirim tim untuk bermain di sekolah B dalam suatu permainan yang disebut football, tetapi kedua tim tidak tahu bahwa ada dua jenis asosiasi terhadap football yaitu soccer (sepak bola) dan softball. Sekolah A bermain sepak bola dan belum pernah mendengar permainan sejenis softball begitu pula sebaliknya untuk B. Setiap tim akan memutuskan dengan cepat bahwa tim lain gila karena tidak sesuai dengan timnya. Tim A khususnya akan berpikir bahwa tim B yang menggunakan bola yang aneh, kecuali kedua belah pihak berhenti dan berbicara tentang apa permainan yang mereka pikirkan.

Meskipun mungkin sulit untuk membayangkan situasi seperti itu timbul di lapangan sepak bola, hal ini dapat dijadikan analog terjadi pada pelajaran matematika. Pada contoh permainan soccer bahwa satu sisi setidaknya tidak bisa menolak untuk bermain karena sudah terjadwal demikian juga pada pelajaran matematika pertemuan tersebut adalah wajib diikuti.

ada dua jenis ketidakcocokan yang dapat terjadi tentang  pemahaman manakah jenis yang lebih baik,

1.        Tujuan utama dari siswa adalah untuk memahami dengan instrumental, diajar oleh seorang guru yang menginginkan mereka memahami dengan relasional.

2.        Tujuan utama dari siswa adalah untuk memahami dengan relasional, diajar oleh seorang guru yang menginginkan mereka memahami dengan instrumental.

Jenis pertama akan menyebabkan masalah jangka pendek lebih sedikit kepada siswa, meskipun akan membuat guru frustasi. Siswa hanya 'tidak-ingin tahu' tentang semua penjelasan guru  berguna untuk persiapan belajar selanjutnya. Semua yang mereka inginkan adalah semacam aturan untuk mendapatkan jawabannya. Segera setelah hal ini tercapai, mereka menghafal dan mengabaikan sisanya.

Jika guru mengajukan pertanyaan yang agak berbeda, tentu saja mereka akan mendapatkan kesalahan. Sebagai contoh berikut, saat itu seorang mahasiswa di Coventry College of Education pada praktek mengajar.Selama mengajar luas daerah ia menjadi curiga bahwa anak-anak tidak benar-benar mengerti apa yang mereka lakukan. Jadi dia bertanya kepada mereka: "berapa luas sebuah lapangan 20 cm kali 15 meter?" Jawabannya adalah "300 centimeter persegi." Dia bertanya: "Mengapa tidak 300 meter persegi?" Jawaban: "Karena luas daerah selalu dalam centimeter persegi."

Upaya mencegah kesalahan seperti di atas siswa perlu aturan lain (atau, tentu saja, pemahaman relasional), bahwa kedua aspek harus dalam satuan yang sama. Ini mengantisipasi salah satu pendapat yang akan digunakan untuk melawan pemahaman instrumental, biasanya melibatkan banyaknya aturan dari prinsip untuk aplikasi yang lebih umum. Namun suatu kemungkinan juga bisa terjadi bahwa beberapa siswa akan menangkap sesuatu yang dilakukan guru.

Ketidakcocokan lain adalah ketika siswa mencoba memahami dengan relasional tetapi dalam pengajarannya mungkin bisa menjadi sesuatu yang lebih merusak. Suatu contoh adalah seorang anak berumur tujuh tahun. Dia adalah seorang anak sangat cerdas dengan I.Q. 140. Pada usia lima tahun ia bisa membaca The Times, tetapi pada umur tujuh tahun dia menangisi tugas matematika. Kemalangannya adalah ia mencoba memahami dengan relasional yang tidak bisa dipahami dengan cara ini. Hal ini karena ketika diajarkan dengan relasional, ia terlibat dengan cepat dengan senang.

Terdapat banyak hal yang diajarkan di bawah penjelasan 'matematika modern' adalah diajarkan dan dipelajari secara instrumental seperti silabus yang telah diganti. Hal ini dapat diprediksi dari kesulitan merekonstruksi skema yang ada. Sejauh ini, inovasi mungkin yang telah dilakukan lebih baik dengan memperkenalkan ketidakcocokan diantara guru dan tujuan dalam content baru. Untuk tujuan memperkenalkan ide-ide seperti himpunan, pemetaan dan variabel dengan bantuan yang benar, mereka dapat memberikan pemahaman relasional. Jika siswa masih diajarkan secara instrumental, maka silabus tradisional mungkin akan lebih menguntungkan. Mereka akan menjadi paling tidak mahir dalam teknik-teknik matematika yang akan berguna bagi mereka dalam mata pelajaran lain.

Dua faux amis dapat diidentifikasi dalam konteks matematika bahkan dengan kata ‘matematika’ itu sendiri. Guru pada umumnya melihat suatu konsep termasuk dalam matematika instrumental dan yang lain melihatnya sebagai matematika relasional. Dalam hal ini tidak dibandingkan mana yang lebih baik atau lebih buruk. Terkait faux amis ini dapat kita analogikan dengan pemain sepak bola seperti contoh diatas. Dalam pengajaranya guru juga ada yang menggunakan secara intrumental dan yang lain menggunakan cara relasional. Hal ini dapat di analogikan dengan contoh pengajaran musik dibawah ini.

Bayangkan ada dua kelompok anak-anak yang diajarkan musik sebagai subjek pensil-dan-kertas. Mereka semua belajar dengan menuliskan lima garis paranada dan tanda not, dan mengajarkan bahwa tanda-tanda di garis dilabel E, G, B, D, F dan antara garis-garais tersebut dilabel F, A, C, E. Mereka belajar bahwa garis dengan oval terbuka disebut minim, dan senilai dua oval hitam yang disebut not seperempat, atau senilai empat oval hitam dan berekor yang disebut not seperdelapan, dan seterusnya. kelompok ini pembelajarannya dengan menuliskan not-not sesuai aturan. Jika mereka memiliki pelajaran musik sehari, lima hari seminggu dalam hal sekolah, dan diberitahu bahwa itu adalah penting, anak-anak ini bisa dalam waktu secepat mungkin belajar menuliskan tanda dalam melodi sederhana, dan untuk memecahkan masalah sederhana seperti lagu apa ini?' dan 'Apa kuncinya? ", dan bahkan membalik melodi dari C mayor ke A mayor." Mereka akan merasa bosan, dan aturan-aturan yang harus dihafal akan begitu banyak sehingga masalah seperti 'Menulis melodi sederhana akan terlalu sulit untuk sebagian besar anak. Mereka akan menyerah terhadap ini sesegera mungkin, dan mengingatnya dengan tidak suka.

Kelompok yang lain diajarkan untuk mengasosiasikan suara-suara tertentu dengan tanda-tanda di atas kertas. Selama beberapa tahun pertama mereka mendengarkan alunan nada, sehingga mereka dapat membuat sendiri instrumen sederhananya. Setelah beberapa saat mereka masih bisa membayangkan suara setiap kali mereka melihat atau menulis tanda di atas kertas. Hal ini berasosiasi dengan setiap barisan tanda yang disebut melodi, dan dengan setiap himpunan vertikal suatu harmoni. Kunci C mayor dan A mayor memiliki hubungan yang terdengar, dan hubungan yang serupa dapat ditemukan antara pasangan tertentu lainnya dari kunci. Memori bekerja tidak terlalu banyak terlibat, dan apa yang harus diingat sebagian besar dalam bentuk keutuhan terkait (seperti melodi) yang pikiran mereka dapat dengan mudah mempertahankannya. Latihan seperti yang disebutkan sebelumnya ('Menulis iringan sederhana') akan disertai kemampuan yang lebih. Anak-anak juga akan menemukan kenyamanan belajar dari dalam dirinya dan terus menerus secara sukarelamelanjutkan sampai tingkat selanjutnya.

Untuk tujuan ini saya telah menemukan satu jenis pelajaran musik yang diajarkan dengan dua cara yang keduanya menggunakan pensil  dan kertas latihan (dalam kasus kedua, setelah tahun pertama atau dua). Analogi pada kelompok pertama, jelas sangat condong ke matematika intrumental dan kelompok ke dua condon ke relasional. Langkah selanjutnya adalah mencoba untuk berdebat manfaat dari kedua sudut pandang yang jelas dan seadil-adilnya, dan terutama dari sudut pandang yang berlawanan dengan seseorang sendiri. Inilah sebabnya mengapa bagian berikutnya disebut Devil Advocate. Dalam satu cara ini hanya menjelaskan bagian yang menempatkan kasus untuk pemahaman instrumental. Tetapi juga membenarkan bagian lainnya, karena lawan imajiner yang berpikir berbeda dari diri sendiri adalah perangkat yang baik untuk membuat jelas bagi diri sendiri mengapa tidak berpikir seperti itu.

DEVIL’S ADVOCATE

Mengingat bahwa begitu banyak guru mengajar matematika instrumental, mungkin karena hal ini memiliki kelebihan tertentu? Terdapat tiga keuntungan, setelah melalui beberapa pemikiran.

1.        Dalam konteksnya sendiri, matematika instrumental biasanya lebih mudah untuk dipahami, terkadang jauh lebih mudah. Beberapa topik seperti mengalikan dua angka negatif bersama-sama, membagi dengan suatu bilangan pecahan, sulit untuk dipahami secara relasional. 'minus dikali minus sama dengan plus dan membagi dengan suatu pecahan adalah membalik pecahan dan mengalikannya adalah aturan yang mudah diingat. Jika hal yang diinginkan adalah jawaban yang benar, maka matematika instrumental dapat digunakan lebih cepat dan mudah.

2.        Penghargaan menjadi lebih cepat dan lebih jelas. Suatu hal yang baik untuk mendapatkan jawaban yang benar dan tidak harus menghilangkan pentingnya rasa sukses dari siswa. keberhasilan yang siswa dapatkan dari ini.

3.        Hanya karena pengetahuan yang kurang terlibat, seseorang dapat sering mendapat jawaban lebih cepat dengan berpikir instrumental daripada relasional. Perbedaan ini begitu ditandai bahwa bahkan matematikawan relasional sering menggunakan pemikiran instrumental.

Hal di atas mungkin tidak memberikan keadilan penuh untuk matematika instrumental. Terdapat minimal empat keuntungan dalam matematika relasional.

1.        Hal ini lebih mudah beradaptasi dengan tugas baru. Seorang anak belajar mengalikan dua bilangan pecahan desimal dengan menurunkan koma, dan menglikan bilangan bulat, kemudian memasukkan kembali koma desimal dengan banyak yang sama dengan sebelumnya. Hal ini merupakan suatu hal sederhana jika dimengerti. Melalui caranya, anak tersebut sulit menerapkan pada pembagian bilangan desimal. Padahal metode tersebut dapat digunakan  menjadi . Siswa yang sama juga belajar bahwa jika diketahui dua sudut pada segitiga, maka sudut ketiga dapat ditentukan dengan menambahkan kedua sudut yang diketahui dan mengurangkannya dari 180°.

Siswa tersebut tidak sedang bodoh dalam salah satu dari kasus ini. Dia hanya mengekstrapolasi dari sesuatu yang sudah diketahui. Namun pemahaman relasional, dengan mengetahui tidak hanya dengan metode seperti apa dalam bekerja tetapi juga mengapa hal tersebut dilakukan dan memungkinkan dia untuk menghubungkan metode untuk masalah ini serta beradaptasi dengan metode untuk masalah baru. Pemahaman instrumental mengharuskan menghafal masalah dan metode yang digunakan sesuai atau tidak dan juga belajar metode berbeda untuk setiap masalah baru. Jadi keuntungan pertama dari matematika relasional mudah untuk diingat

2.        Hal ini lebih mudah untuk diingat. Terdapat suatu paradoks yang tampak di sini, dalam hal ini lebih sulit untuk belajar. Contoh siswa lebih mudah belajar bahwa 'luas segitiga = ' daripada belajar mengapa demikian? Namun mereka harus belajar aturan terpisah untuk segitiga, persegi panjang, jajaran genjang, trapesium. Sedangkan pada pemahaman relasional untuk mencari 'luas segitiga = ' dapat dicari dari  persegi panjang. Jika menginginkan mengetahui aturan terpisah yang lain, maka harus menurunkan dari yang lain. Untuk mengetahui aturan-aturan yang lain dapat saling dikaitkan sehingga memungkinkan seseorang untuk mengingat aturan sebagai bagian dari keseluruhan yang terhubung dengan demikian akan lebih mudah diingat.

Mengajar untuk pemahaman relasional juga dapat melibatkan lebih banyak konten nyata. Sebelumnya, suatu penjelasan instrumental berperan dikutip mengarah ke pernyataan . Untuk pemahaman relasional ini, gagasan proporsi harus diajarkan pertama kali diantara yang lain, hal ini akan membuat pekerjaan lebih lama dari sekedar mengajar aturan yang diberikan. Tapi proporsionalitas memiliki berbagai aplikasi lain yang lebih luas dari pada aturan yang diajarkan secara langsunng. Dalam matematika relasional ini terjadi lebih sering. Ide yang diperlukan untuk memahami suatu topik tertentu berubah menjadi dasar untuk memahami topik lain. Set, pemetaan dan kesetaraan adalah ide-ide tersebut. Sayangnya, manfaat yang mungkin dari mengajar bahasan tersebut sering hilang pada saat diajarkan mereka sebagai topik yang terpisah, bukan sebagai konsep dasar di mana seluruh wilayah matematika bisa saling terkait.

3.        Pengetahuan relasional dapat efektif sebagai tujuan itu sendiri. Hal ini adalah fakta empiris, berdasarkan bukti dari percobaan terkontrol menggunakan materi bukan matematika. Kebutuhan untuk hadiah dan hukuman eksternal sangat berkurang, sehingga apa yang sering disebut 'motivasi' sisi pekerjaan guru jauh lebih mudah.

4.        Skema relasional organik dalam kualitas. Hubungan dengan nomor 3 adalah bahwa jika orang mendapatkan kepuasan dari pemahaman relasional, mereka tidak mungkin hanya mencoba untuk memahami relasional materi baru yang diletakkan di depan mereka, tetapi juga secara aktif mencari materi baru dan menjelajahi daerah baru, sangat banyak seperti pohon memperluas akarnya atau binatang menjelajahi wilayah baru dalam mencari makanan. Untuk mengembangkan ide ini melampaui tingkat analogi adalah di luar cakupan tulisan ini, tetapi terlalu penting untuk pergi keluar.

Seorang guru mungkin membuat pilihan yang beralasan untuk mengajar dengan pemahaman instrumental pada satu atau lebih dari alasan berikut.

1.        Pemahaman relasional akan memakan waktu terlalu lama untuk mencapai, dan dapat menggunakan teknik tertentu adalah semua siswa mungkin membutuhkan.

2.        Pemahaman relasional dari topik tertentu terlalu sulit, tetapi murid-murid masih membutuhkan untuk alasan pemeriksaan.

3.        Suatu keterampilan yang diperlukan untuk digunakan dalam topik lain (misalnya, ilmu pengetahuan alam) sebelum dapat dipahami secara relasional dengan skema saat ini tersedia untuk siswa.

4.        Dia adalah seorang guru junior di suatu sekolah dengan semua pengajaran matematika yang lain adalah instrumental.

Semua ini menyiratkan, seperti halnya ungkapan 'membuat pilihan yang beralasan,' bahwa ia mampu mempertimbangkan tujuan alternatif pemahaman instrumental dan relasional pada jasa-jasa mereka dan dalam kaitannya dengan situasi tertentu. Untuk membuat pilihan informasi semacam ini menyiratkan kesadaran perbedaan, dan pemahaman relasional dari matematika itu sendiri. Jadi tidak lain pemahaman relasional bisa cukup untuk seorang guru. Kita harus menghadapi kenyataan bahwa hal ini tidak pernah hilang dalam banyak pengajar matematika, bahkan mungkin mayoritas.

Faktor situasional yang berkontribusi terhadap kesulitan meliputi:

1.        Efek tidak ada perkembangan dari suatu pemeriksaan. Mengingat pentingnya ujian untuk pekerjaan di masa depan, salah satu tidak bisa menyalahkan siswa jika sukses maka itu adalah salah satu tujuan utama mereka. Cara kerja murid tidak bisa tidak dipengaruhi oleh tujuan mereka bekerja, yang menjawab dengan benar dalam banyaknyapertanyaan yang memadai.

2.        Silabus dengan muatan yang banyak. Bagian dari masalah di sini adalah konsentrasi tinggi dari konten informasi matematika. Sebuah pernyataan matematika dapat berubah menjadi satu baris sebanyak di topik lain mungkin memakan waktu lebih dari satu atau dua paragraf. Matematikawan terbiasa menangani ide-ide terkonsentrasi tersebut, hal ini sering diabaikan (yang mungkin mengapa sebagian besar dosen matematika pergi terlalu cepat). Seseorang yang bukan ahli matematika tidak menyadari sama sekali semua itu. Apapun alasannya, hampir semua silabus akan jauh lebih baik jika jauh berkurang dalam jumlah sehingga akan ada waktu untuk mengajar mereka lebih baik.

3.        Kesulitan penilaian apakah seseorang memahami relasional atau instrumental. Dari tanda-tanda ia membuat di atas kertas, sangat sulit untuk membuat kesimpulan yang valid tentang proses mental yang telah menyebabkan murid paham, maka kesulitan menguji pemahaman dalam matematika. Dalam situasi mengajar, berbicara dengan murid hampir pasti cara terbaik untuk mengetahui, tetapi dalam kelas lebih dari 30 siswa, mungkin sulit untuk menemukan waktu.

4.        Kesulitan psikologis besar bagi guru merekonstruksi skema yang sudah ada dan sudah berjalan lama, bahkan untuk minoritas yang tahu mereka perlu, ingin melakukannya, dan punya waktu untuk belajar.

SUATU FORMULASI TEORITIS

Suatu teori tidak bisa diterapkan pada semua situasi kompleks. Hal ini bisa dilihat dari guru yang baik yaitu seorang guru yang dapat membangun pengetahuan empiris mereka sendiri dan mengabstraksikan beberapa prinsip umum juga memerlukan bimbingan. Pada saat pengetahuan mereka tetap dalam bentuk ini, sebagian besar masih pada tingkat intuitif dalam diri seseorang, dan belum dapat dikomunikasikan karena tidak ada struktur konseptual bersama (skema) dalam hal yang dapat dirumuskan. Mungkin ini perlu upaya individu dapat diintegrasikan ke dalam satu bentuk pengetahuan yang tersedia yang dapat dipahami oleh seseorang. Saat ini sebagian besar guru harus belajar dari kesalahan mereka sendiri.

Untuk memahami tentang perbedaan antara matematika relasional dan instrumental perhatikan contoh konkret berikut : Ketika saya pergi ke kota tertentu untuk pertama kalinya, saya cepat belajar beberapa rute tertentu. Saya belajar untuk mengetahui rute antara dimana saya tinggal dan kantor rekan saya bekerja: rute antara dimana saya tinggal dan di mana saya makan, rute antara kantor teman saya dan ruang makan, dan rute lainnya. Singkatnya, saya belajar sejumlah rencana tetap mulai dari lokasi awal sampai lokasi tujuan tertentu.Segera setelah saya punya beberapa waktu luang, saya mulai menjelajahi kota. Sekarang saya tidak hanya mempelajari hal yang spesifik, tetapi untuk belajar yang lebih luas contohnya mempelajari jalan di sekitar kota di mana saya tertarik untuk mempelajarinya. Pada tahap ini tujuannya adalah membangun peta kognitif kota.

Kedua kegiatan tersebut sangat berbeda. Namun demikian, untuk seorang pengamat luar, sulit untuk membedakan. Siapapun melihat saya berjalan dari A ke B akan memiliki kesulitan besar untuk mengetahui (tanpa meminta saya) apa yang menjadi tujuan saya. Dalam satu kasus tujuan saya adalah untuk mendapatkan tempat B, yang merupakan keadaan pengetahuan.

Seseorang dengan seperangkat rencana tetap dapat menemukan jalan dari satu set tertentu dari titik awal untuk satu set tertentu dari tujuan. Karakteristik rencana adalah bahwa ia memberitahu kepadanya apa yang harus dilakukan pada setiap titik pilihan. Tetapi jika pada setiap tahap ia membuat kesalahan, ia akan tersesat, dan ia akan tetap tersesat jika ia tidak mampu untuk menelusuri kembali langkah-langkah dan kembali ke jalan yang benar. Sebaliknya, seseorang dengan peta mental kota yang bagus, bila diperlukan, rencana dalam jumlah yang hampir tak terbatas sehingga  dapat membimbing langkahnya dari setiap titik awal ke titik selesai, asalkan keduanya dapat dibayangkan pada peta mentalnya. Dan jika ia tidak mengambil jalan yang salah, ia masih akan tahu di mana dia, dan dengan demikian dapat memperbaiki kesalahannya tanpa tersesat, bahkan mungkin untuk belajar dari itu.

Persamaan contoh tersebut diatas dengan pembelajaran matematika sangat dekat. Pada pembelajaran matematika merupakan pembelajaran peningkatan jumlah rencana tetap, dimana siswa dapat menemukan jalan mereka dari titik awal tertentu (data) ke titik-titik yang diperlukan selesai (jawaban atas pertanyaan). Rencananya memberitahu apa yang harus dilakukan pada setiap titik pilihan, seperti dalam contoh konkret. Dan seperti dalam contoh konkret, apa yang harus dilakukan selanjutnya yang ditentukan oleh situasi lokal. Tidak ada kesadaran tentang hubungan antara keseluruhan tahapan yang berurut dengan tujuan akhir. Dalam kedua kasus diatas, pelajar bergantung pada bimbingan dari luar untuk belajar suatu cara mendapatkan sesuatu yang baru.

Sebaliknya, belajar matematika relasional terdiri dari membangun sebuah struktur konseptual (skema) yang pada prinsipnya dari mana pemiliknya bisa  menghasilkan rencana yang tidak terbatas untuk mendapatkan dari setiap titik awal dalam skema sampai setiap titik akhir.

Perbedaan pembelajaran relasional terhadap pembelajaran instrumental dapat dilihat dari :

1.        Cara ini tidak tergantung dari hasil akhir yang akan dicapai.

2.        Membangun skema dalam daerah pengetahuan menjadi tujuan intrinsik dalam meyakinkan dirinya sendiri.

3.        Skema murid semakin lengkap, kepercayaan dirinya semakin besar dalam menemukan cara baru tanpa bantuan dari luar.

4.        Namun skema ini tidak pernah selesai. Seperti skema kita yang memperbesar, sehingga kesadaran kita kemungkinan menjadi lebih besar juga. Dengan demikian proses menjadi berkelanjutan dan lebih berharga.

Mengambil lagi sejenak peran advokat setan, adalah wajar untuk bertanya apakah kita memang berbicara tentang dua mata pelajaran, matematika relasional dan matematika instrumental, atau hanya dua cara berpikir tentang materi pelajaran yang sama. Menggunakan analogi beton, dua proses yang dijelaskan mungkin dianggap sebagai dua cara yang berbeda untuk mengetahui tentang kota yang sama, dalam hal ini perbedaan yang dibuat antara matematika instrumental dan relasional.

Tapi apa yang merupakan matematika bukanlah materi pelajaran, tetapi jenis tertentu pengetahuan tentang hal itu. subjek matematika relasional dan instrumental mungkin sama: mobil bepergian pada kecepatan seragam antara dua kota, menara yang tinggi dapat ditemukan, mayat jatuh bebas dipengaruhi gaya gravitasi, dll tetapi dua jenis pengetahuan yang begitu berbeda sehingga saya pikir bahwa ada kasus yang kuat untuk menganggap matematika relasional dan instrumental sebagai berbagai jenis matematika.