PERBEDAAN MACAM-MACAM IMAJINASI (Terjemahan BAB 6 Buku THE PSHYCOLOGY OF LEARNING MATHEMATICS oleh Richard Skemp)

Sekitar tahun 1880an, Galton menemukan bahwa imajinasi mental setiap orang sangat berbeda. Beberapa orang seperti dirinya sendiri, memiliki imajinasi visual yang kuat, yang tidak memilikinya, berpikir melalui kata-kata. Inilah yang terjadi selama ini dan ada juga individu yang dapat melakukan keduanya, berpikir untuk menentukan pilihan pada beberapa kemampuan. Dalam bab ini kita akan mempertimbangkan dua jenis simbol yang digunakan dalam matematika, visual dan verbal; keduanya merupakan imajinasi mental, dan hal lain yang ditandai dengan simbol.

A. Simbol Visual dan Simbol Verbal

Pertama, penggunaan istilah simbol perlu penjelasan lebih lanjut, karena ketika kata-kata dituliskan kata-kata itu menjadi sesuatu yang dilihat, bukan didengar. Namun demikian kata-kata adalah simbol yang berhubungan dengan pendengaran, dan cara mengkomunikasikannya adalah ucapan, bukan tulisan.  Jadi simbol verbal dapat kita akan artikan sebagai kata yang diucapkan dan kata yang dituliskan. Simbol visual dengan jelas dicontohkan dengan semua macam-macam diagram, khususnya gambar bentuk-bentuk geometri. Tetapi ke dalam kategori mana kita harus meletakkan simbol aljabar seperti ini?

Pada dasarnya ini adalah singkatan. Tulisan ini dapat dibaca dengan jelas, atau dikomunikasikan tanpa melihat bentuk visual. Yang pertama dibaca sebagai ”Integral a sampai b dari sin x dx”; dan yang kedua sebagai ”himpunan semua nilai x sedemikian hingga x² lebih besar atau sama dengan nol”. Keuntungan dari notasi-notasi aljabar tersebut adalah, pertama, singkatan ini – menghemat waktu dan mengurangi kesalahan. Tapi singkatnya ini juga menambah kejelasan dan kekuatan, karena ide individu yang ditimbulkan jauh lebih singkat, mendukung pemahaman struktur secara keseluruhan. Mungkin ada sedikit kecenderungan untuk membacanya dengan sub-vokal, dan ada aspek visual tertentu yang akan disebutkan kemudian.  Tapi pembahasan lebih lanjut akan menunjukkan bahwa simbol aljabar lebih banyak bersama simbol verbal daripada  diagram dan gambar geometri. Contoh pernyataan yang sesuai, adalah “Jika p adalah bilangan prima dan  atau ” (“jika p adalah bilangan prima, dan p membagi habis ab maka p membagi habis a atau p membagi habis b”).

Kedua simbol, visual dan verbal digunakan dalam matematika  secara bersamaan maupun terpisah. Oleh karena itu, kita menemukan diagram-diagram dengan penjelasan verbal dan, bentuk perhitungan-perhitungan trigonometri; kita menemukan kurva disertai persamaannya; tetapi kita juga menemukan bentuk aljabar tanpa gambar atau diagram.  Memang, saat ini dan buku geometri juga mengandung bukan gambar tunggal! Hal itu terlihat seolah-olah simbol verbal (termasuk aljabar) sangat diperlukan , tetapi simbol visual tidak.

Meskipun terkadang simbol-simbol tidak dibutuhkan, namun tidak ada keraguan bahwa simbol visual sangat berguna dan mungkin simbol visual lebih dapat dimengerti daripada simbol verbal dalam bentuk aljabar pada ide yang sama.

Sudah sepantasnya jika fungsi-fungsi yang disimbolkan dengan dua cara yang berbeda, mungkin saling melengkapi. Jika demikian, kita ingin tahu apa fungsi-fungsi ini, dengan menggunakan dan menggabungkannya untuk manfaat terbaik. Kita ulangi,  penggunaan symbol dalam matematika sangat penting (lihat lagi daftar pada halaman 46). Sehingga, beberapa sajian tentang bagaimana memilih dan menggunakan simbol dan menemukan satu yang baru akan memberikan nilai sangat baik.

Simbol visual kelihatannya menjadi dasar, paling tidak dalam menyajikan bentuk yang sederhana untuk menunjukkan obyek yang sesungguhnya. Seperti yang ditunjukkan Piaget, sekalipun persepsi kita terhadap sebuah obyek termasuk di dalamnya sebuah bentuk konsep. Ketika kita melihat beberapa obyek dari sudut pandang tertentu dalam kesempatan tertentu, pengalaman ini menimbulkan ingatan pada pengalaman-pengalaman yang lalu ketika melihat objek ini – tidak secara terpisah tetapi sebagai sebuah abstraksi dari sesuatu yang umum untuk pengalaman ini. Hal ini dialami sebagai 'pengakuan,' dan kami membantu dengan memberikan  objek, dalam pengalaman ini, dengan berbagai properti lain yang berasal bukan dari rasa data tetapi dari konsep obyek yang dimunculkan. Jadi, gambar visual, atau representasi bergambar, suatu objek dapat cukup digambarkan sebagai simbol, meskipun konsep terkait (bahwa objek) adalah tatanan yang lebih rendah daripada yang digunakan dalam matematika.

Dengan meninggalkan sifat-sifat visual suatu objek kita bisa abstrak pada tingkat yang lebih tinggi, dengan tetap mewakili hasil sebuah konsep secara visual. Peta, diagram lingkaran dan gambar teknik merupakan contoh bahwa hal yang paling penting dari sebuah objek dapat ditunjukkan lebih baik dengan visual  daripada simbol verbal.

Untuk contoh matematika, perhatikan diagram ini, yang mewakili sebuah blok tinggi pada flats yang berdiri di atas tanah. Untuk tujuan saat ini kami hanya tertarik dalam bentuk dan tingginya.

Selanjutnya kita merepresentasikan pengamatan seorang surveyor. Dari sudut ketinggian dari atap bangunan, diambil pada jarak 100 meter dari bawah. Yang menarik untuk dicatat adalah surveyor itu sendiri adalah observasinya direpresentasikan oleh simbol tertentu (titik dan garis) pada saat pengukuran, dan tinggi yang tidak diketahui diwakili oleh simbol aljabar verbal.

Tentu saja kita membutuhkan keduanya, dan sesegera melakukan perhitungan lalu melengkapinya .

h = 100 tan 30⁰

Meskipun demikian  diagram sangat membantu untuk mewakili keseluruhan struktur masalah. Itu memberikan  konteks darimana perhitungan secara khusus diperlukan untuk diabstraksikan.

Meskipun lebih mendasar, gambaran visual lebih sulit dikomunikasikan daripada yang lain. Kemudian, yang harus kita lakukan adalah mengubah pemikiran vokal kita ke dalam ucapan. Tetapi untuk mengkomunikasikan pemikiran visual,  kita harus menggambar, melukis atau membuat sebuah film. Saat ini, komputer grafis membuat ini lebih mudah, namun proses ini masih jauh lebih sulit daripada berbicara.Ini memberikan pemikiran verbal lebih memberi keuntungan dari pada visual. Lebih jauh lagi, sebuah pemikiran sangat berhubungan dengan penggunaan simbol. Selain itu, membawa ke dalam kesadaran sebuah ide terkait erat dengan penggunaan simbol yang dikaitkan. Ketika kita mendengar ucapan kita sendiri pada waktu yang sama seperti halnya pendengar, ide-ide yang sama dibangkitkan hampir bersamaan ke dalam kesadaran kita, tentu saja, bahwa kedua simbol yang digunakan memiliki kesamaan arti. Jadi ketika membicarakan pemikiran kita kepada orang lain, kita juga berkomunikasi terhadap diri kita sendiri.

Ada juga beberapa bukti bahwa pembicaraan yang dapat didengar membawa ide-ide ke dalam kesadaran  dengan lebih jelas dan lengkap daripada pidato sub-vokal. Ketika menyelsaikan masalah arimatika yang lebih sulit, anak-anak sering jatuh kembali ke berbisik pikiran mereka, dan dalam perjalanannya satu tangan di seluruh dunia dalam Gypsy Moth IV, Sir Francis Chichester ditemukan, ketika menyelesaikan perahu dalam kondisi sulit dan sangat lelah, itu membantu untuk memberitahu dirinya dengan keras apa yang harus dilakukan. Ini menjelaskan bahwa pengalaman umum setelah menyatakan masalah (akademik atau sebaliknya) dengan suara keras, bahkan kepada pendengar yang tidak memberikan kontribusi lain selain hanya untuk mendengarkan, kadang-kadang kita menemukan solusi.

Ketika diskusi berlangsung, kita mendapatkan efek subjektif ini pada kedua sisi, bersama-sama dengan interaksi ide yang merupakan tujuan lebih sadar dari mereka mengambil bagian. Kemajuan yang dihasilkan dari pemikiran bisa cukup. Karena sangat mudah untuk mengirimkan simbol lisan kita, dan begitu jauh lebih sulit untuk mengirimkan simbol-simbol visual kita - kita telah membangun peralatan fisik untuk sebuah bentuk tetapi tidak yang terakhir - keuntungan ganda yang dijelaskan di atas terpasang, dalam pengalaman dari sebagian besar dari kita , jauh lebih kuat untuk simbol verbal.

Pemikiran Yang Disosialisasikan

Dari sini dapat dikatakan bahwa pemikiran verbal kita lebih mudah untuk disosialisasikan, hal itu memperluas hasil akhir tidak hanya pemikiran kita tetapi juga hal lain, dan interaksi keduanya. Untuk melihat sesuatu, secara harafiah, dari sudut pandang orang lain, seharusnya kita berdiri di tempatnya, atau menerima gambaran darinya, mengingat dia dapat mengatakan pada kita apa yang dia lihat, dan kita dapat mendengar suara yang sama pada saat berdiri pada tempat yang berbeda dan melihat arah yang berbeda. Pada sesuatu yang nyata, penglihatan bersifat individu, pendengaran bersifat kolektif, at the concrete as well as at the symbolic level. Dan ini menarik untuk diperhatikan, ketika kita sangat berharap untuk menegaskan aspek individu daripada aspek kolektif, kita berbicara tentang sebuah ”sudut pandang”. Bahkan ”aspek” adalah sebuah perubahan visual. Jadi perbedaan antara dua jenis simbol ini, adalah sebagai berikut:

Visual        : lebih sulit diutarakan, lebih individual.

Verbal       : lebih mudah diutarakan, lebih kolektif.

Manusia adalah makhluk sosial; dan manfaat dari komunikasi sangatlah besar, adapun keunggulannya, sebagaimana dinyatakan sebelumnya, dari pemikiran verbal dapat dijelaskan berdasarkan pada dasar-dasar di atas. Tapi manfaat dari komunikasi merupakan hal yang kebetulan (kita memiliki loudspeaker, tapi tidak memiliki proyektor gambar) dan tidak timbul dengan sendirinya secara alami simbol-simbol itu. Memang, kadangkala dikatakan bahwa ”sebuah gambar sama dengan seribu kata”. Jika memang demikian, maka dari pada menulis buku (sekitar 90.000 kata), penulis akan lebih baik menghabiskan waktu dengan membuat 90 gambar. Dengan teknik reproduksi modern, maka publikasi tidak memiliki kesulitan apapun. Lebih lanjut, kata-kata yang ditulis kehilangan manfaat dari interaksi antara, pendengar dan pembicara. Jadi apakah menulis buku dan membacanya, bukannya menggambarnya dan melihat gambaran tersebut, hanyalah sekedar kebiasaan yang diambil dari kebiasaan percakapan dan diskusi? Ataukah juga terdapat manfaat-manfaat intrinsik di dalam simbol jenis verbal-aljabar?

Simbol-Simbol Visual Di Dalam Geometri

Geometri merupakan konteks yang menguntungkan untuk menyelidiki pertanyaan, karena merupakan salah satu cabang matematika dimana diagram merupakan bagian yang penting dari geometri. Kita harus mencatat bahwa simbol yang dilibatkan disini lebih abstrak daripada representasi visual dari sebuah objek. Bahkan foto dari sebuah objek hanya menunjukkan aspek tunggal, dan untuk memperluas hal tersebut akan membangkitkan konsep dari objek sebagai sesuatu dari keseluruhan, dapat dijelaskan sebagai sebuah simbol untuk objek. Lebih lanjut presentasi abstrak lainnya, biasanya menunjukkan bentuk daripada warna, tekstur, ukuran. Tingkat abstraksi lainnya dapat ditemukan di dalam gambaran yang mewakili, bukan sebuah objek secara khusus.

Perbedaan utama antara kedua jenis simbol, gambar dan kata, adalah yang satu terlihat seperti sebuah objek khas dari himpunan yang mewakilinya, dimana yang satunya lagi tidak tampak seperti itu. Jadi simbol visual ini, pada tingkat apapun, memiliki hubungan yang lebih erat dengan konsep daripada simbol verbal. Hal yang sama berlaku untuk simbol-simbol geometris. Berikut ini adalah simbol geometris:

Simbol verbal yang sesuai dari simbol geometris diatas adalah lingkaran.

Persamaan simbol geometris dengan konsepnya memiliki kelebihan dan kekurangan. Kelebihannya adalah menimbulkan sifat-sifat konsep dengan baik. Hal ini terjadi ketika kita menggambarkan secara visual beberapa konsep secara bersama-sama. Diagram menjelaskan hubungan antar konsep jauh lebih jelas daripada representasi verbal pada konsep yang sama.

Sebuah lingkaran dengan dua garis singgung dari suatu titik diluar lingkaran; dan jari-jari melalui titik-titik singgung dari kedua garis singgung tersebut.

Kelemahan dari simbol visual adalah simbol tersebut harus digambarkan untuk dapat dikomunikasikan. Kita harus ingat bahwa simbol itu tidak menyajikan suatu lingkaran tertentu, garis singgung dan lain-lain. Tetapi menyajikan variabel-variabel suatu lingkaran. Bukan pula sebuah lingkaran dengan jari-jari dan pusat seperti yang terlihat. Kata-kata ini mengingatkan kita secara eksplisit mengenai hal ini. Sebuah diagram tidak dapat menunjukkan lingkaran tertentu. Oleh sebab itu, kita harus mengabaikan suatu kualitas dan bekerja dengan simbol-simbol secara umum. Tahapan ini merupakan tahap yang lebih konkret sehingga harus melakukan beberapa abstraksi dalam diri kita.

Dalam contoh ini, bagaimanapun, kedua kelemahan kecil tersebut cukup ditutupi oleh  keringkasan dan kejelasan simbol visual. Namun demikian pada umumnya komunikasi geometri dimulai dengan diagram dan kemudian berubah menjadi symbol verbal-aljabar, bersamaan dengan salah satu geometris tambahan seperti , . Dan elemen visual kadang-kadang dihapuskan sama sekali. Dalam pembelajaran vektor, ruas garis yang dituju digantikan oleh pasangan terurut, tiga, atau n-tupel dari angka, dan salah satu arah dimana geometri tampaknya bergerak adalah bahwa sistem aksioma aljabar dimanipulasi.

Penyajian Argumen Visual

Contoh berikut menyatakan bahwa mungkin saja kita tetap menggunakan simbol visual dalam penyajian mengingat akan kelebihannya.  Dengan beberapa konvensi sederhana, diagram di bawah ini menyampaikan segalanya bahwa  pernyataan verbal yang dilakukan lebih jelas dan gamblang.

Garis singgung lingkaran dari suatu titik di luar lingkaran memiliki panjang yang sama

Perhatikan  bahwa diagram juga menunjukkan  bagian-bagian dari garis singgung yang kita maksudkan. Yang jika secara verbal akan tetap implisit dan dapat menjadi eksplisit dengan kata-kata tambahan yang justru menjadi kurang jelas.

Sudut luar dari sebuah segitiga adalah jumlah dari sudut-sudut dalam yang berlawanan.

Ini pernyataan umum. Kita harus benar-benar mengatakan “ukuran sudut luar”, karena “obyek”, dan “ukuran obyek” adalah gagasan yang berbeda. Ini ditunjukkan lebih jelas dalam diagram, dimana sudut ditampilkan dengan sepasang garis, dan ukurannya dengan huruf. Dan siapa yang akan tahu sudut yang mana yang kita maksud dengan 'sudut luar’ dan 'sudut dalam yang berlawanan’ jika tanpa diagram? Di sini pernyataan verbal kalah dari pernyataan visual .

Kita dapat juga menunjukkan teorema dan konversnya. Sudut di dalam setengah lingkaran adalah sudut siku-siku

Di sini,=> berarti 'implikasi'. Gambar bagian kiri menunjukkan data yang menggunakan kesepakatan dimana suatu titik yang digambarkan di pusat lingkaran sesungguhnya memang merupakan pusat. Gambar bagian kanan mewakili kesimpulan yang diperoleh dengan menggunakan teorema ini dari data yang ada.

Konvers dari teorema ini juga benar. Jika talibusur suatu lingkaran yang berhadapan dengan suatu sudut siku-siku pada keliling lingkaran, talibusur itu adalah diameter 

Dengan penggunaan tanda <=> untuk dua arah implikasi, kita dapat menghadirkan secara bersamaan teorema dan konversnya. Sudut dalam setengah lingkaran adalah sudut siku-siku. Begitu juga, jika talibusur lingkaran berhadapan dengan sudut siku-siku pada keliling, maka tali busur itu adalah diameter.

Sejauh ini, pernyataan visual lebih jelas dan singkat. Kesulitan muncul ketika kita ingin melakukan lebih dari dua hal, memberikan bukti logis, dan mengarahkan perhatian ke bagian-bagian tertentu dari diagram. Yang pertama ini sering memerlukan yang kedua.

Teorema diatas merupakan kasus kecil berikut. (Ukuran) sudut di pusat lingkaran adalah dua kali (ukuran) sudut keliling yang mengahadap busur yang sama.

Bukti dari teorema sebelumnya menunjukkan bahwa kita dapat memandang garis ini