VOLUME BENDA PUTAR APABILA DIPUTAR TERHADAP SUMBU-X

VOLUME BENDA PUTAR - Jika suatu daerah bidang datar diputar mengelilingi sebuah garis lurus,maka akan terbentuk suatu benda putar. Garis tetap itu kita sebut sumbu putar.

Bab ini tentang menggunakan integral untuk menemukan volume berbagai benda khusus yang disebut dengan benda putar. Ketika kamu dapat melengkapi itu, kamu seharusnya dapat menemukan volume benda putar melalui sumbu-x atau di sumbu-y.

A. Volume Benda Putar
Mulai titik O, dan buat garis OA dari titik O (ditunjukkan pada gambar 17.1). Perhatikan daerah antara garis OA dan sumbu-x (ditunjukkan pada daerah yang diarsir). Jika dirotasikan daerah tersebut melalui sumbu-x sejauh $360^{\circ }$ diperluas seperti sebuah kerucut yang padat (ditunjukkan pada gambar 17. 2). Bentuk benda yang terbentuk tersebut dinamakan benda putar. Volume benda putar terkadang disebut juga dengan volume putar.

Menghitung volume benda putar hampir sama dengan cara menghitung luas daerah dibawah kurva dan dapat diilustrasikan dengan sebuah contoh.

Andaikan daerah tersebut diantara grafik $y=\sqrt{x}$ dan sumbu-x dari x = 1 sampai x = 4 (ditunjukkan pada gambar 17.3) dirotasi melalui sumbu-x sampai berbentuk benda putar (pada gambar 17.4).

Kuncinya dimulai dengan bertanya beberapa pertanyaan umum: apakah volume V benda putar dari x=1 sejauh nilai x? benda ini ditunjukkan pada arsiran terang pada gambar 17.4.

Andai x diperluas oleh $\delta x$ Karena y dan V merupakan kedua fungsi x, yang menghubungkan perluasan di y dan V dapat ditulis sebagai $\delta y$ dan $\delta V$ . Perluasan $\delta V$ ditunjukkan arsiran gelap pada gambar 17.4. periksa perluasan $\delta V$ di volume yang tertutup. Itu ditunjukkan lebih detail pada diagram di gambar 17.5

Perluasan $\delta V$ dalam volume diantara volume dua cakram atau piringan seperti silinder, tiap lebarnya $\delta x$ dan mempunyai jari-jari y dan y + $\delta y$ (ada dua silinder yang ditunjukkan di diagram tengah dan kanan pada gambar 17.5).

$\delta V$ diantara $\pi y^{2} \delta x$ dan $\pi (y+\delta y)^{2}\delta x$

dari pernyataan tersebut didapat bahwa

$\frac{\delta V}{\delta x}$ diantara $\large \pi y^{2}$ dan $\large \pi (y+\delta y)^{2}$

sekarang kita lihat, jika $\delta x$ mendekati 0.

$\lim_{\delta x\rightarrow 0}\pi y^{2}\leq \lim_{\delta x\rightarrow 0}\frac{\delta V}{\delta x}\leqslant \lim_{\delta x\rightarrow 0}\pi (y+\delta y)^{2}$

$\pi y^{2}\leq \frac{dV}{dx}\leqslant \pi (y+\delta y)^{2}$

karena $\delta x$ mendekati 0, maka $\delta y$ juga mendekati 0

$\frac{dV}{dx}=\pi y^{2}$
$V=\int \pi y^{2}dx\Rightarrow (\int \frac{dF(x)}{dx}dx=F(x)+c)$

karena $y=\sqrt{x}$ diperoleh

$V=\int \pi (\sqrt{x})^{2}dx$

$V=\int_{1}^{4}\pi y^{2}dx=\int_{1}^{4}\pi x dx=\left [\frac{1}{2}\pi x^{2} \right ]_{1}^{4}=\frac{1}{2}\pi \times 16 -\frac{1}{2}\pi \times 1 = \frac{15}{2}\pi$

CARI

VOLUME BENDA PUTAR APABILA DIPUTAR TERHADAP SUMBU-X

Related Posts :