PENERAPAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK PADA SISWA BERKEMAMPUAN RENDAH HINGGA MENENGAH DI SEKOLAH MENENGAH (BAB III PENGAJARAN MATEMATIKA dan DAFTAR PUSTAKA))

PENERAPAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK PADA SISWA BERKEMAMPUAN RENDAH HINGGA MENENGAH DI SEKOLAH MENENGAH (BAB III PENGAJARAN MATEMATIKA dan DAFTAR PUSTAKA))

A.   Proyek Terkait

1.    MiC (Mathematics in Context )di AS

Pada tahun 1991, The University of Wisconsin (UW), didanai oleh National Science Foundation (USA), bekerjasama dengan Institut Freudenthal, mulai mengembangkan kurikulum dan pengajaran berdasarkan PMR ( Romberg dan Pedro (1996)) untuk penjelasan detail mengenai proses perkembangan dan van Reeuwijk (2001) untuk akun perawatan diambil dalam mengembangkan salah satu aspek dari skema). Versi pertama dari matematika dalam konteks (MiC), bersama dengan bahan-bahan komprehensif guru, diterbitkan tahun 1996/7 dan telah mengalami beberapa revisi sejak itu. (Dickinson, 2010)

2.    MiC di Inggris

Yayasan Gatsby setuju untuk mendanai Manchester Metropolitan University (MMU) untuk menjalankan sebuah proyek yang berbasis percobaan  PMR (memanfaatkan MiC) selama periode tiga tahun. Ekonomi dan sosial Research Council (ESRC) juga sepakat untuk mendanai pemeriksaan bagaimana keyakinan guru dan perubahan perilaku dalam proyek (Lihat Hanley et al. (2007).

Proyek ini berfokus pada tiga masalah utama: mengembangkan pemahaman tentang PMR dalam konteks bahasa Inggris, memahami bagaimana para peserta mengembangkan dan mendukung guru untuk mengembangkan keterampilan praktis dan pengetahuan yang mendalam tentang PMR.

Dalam membentuk siswa selama tiga tahun. tim proyek melihat bukti bahwa pendekatan siswa-siswa terhadap pemecahan masalah telah berubah dan bahwa ini mempengaruhi bagaimana mereka mengerti matematika. Rincian lebih lanjut dari ini diberikan di bawah ini; untuk temuan lainnya proyek, lihat Dickinson dan Eade (2005). (Dickinson, 2010)

3.    MSM di Inggris

Pada tahun 2007, sebagai sebuah ekstensi untuk pekerjaan proyek kunci tahap 3, proyek  The Making Sense of Mathematics (MSM) dimulai.  Ini ditujukan untuk siswa Yayasan tingkat GCSE (tahun 10 & 11) dengan sumber daya baru yang diproduksi sebagai hasil kerjasama antara Freudenthal Institute dan MMU. Sumber daya ini terdiri dari 11 buklet yang bersama-sama dalam the Key Stage 4 Foundation. Buklet ini membangun pengalaman yang Diperoleh dari proyek Gatsby dan memperhitungkan kesulitan disorot oleh guru Key Stage 3, seperti kebutuhan untuk PMR berbasis British Context  dan lebih erat terkait dengan UK Nasional tes.

Proyek MSM  terlibat kelas tingkat dasar dari 6 sekolah di kelompok pertama dan 10 sekolah di kelompok kedua. MMU memasok sumber daya ke sekolah ini dan memberikan dukungan yang berkelanjutan dalam bentuk sesi pelatihan awal dan pengamatan berbasis sekolah. Umpan balik yang diberikan oleh guru-guru telah digunakan untuk merevisi bahan yang saat ini dalam versi kedua mereka.

Kunci penemuan dari proyek MSM sampat saat ini menunjukkan pengaruh terhadap guru dan siswa. Untuk tujuan karya tulis ini, kita fokus pada siswa-siswa, dan kesamaan antara siswa-siswa KS3 yang bekerja dengan MiC dan siswa-siswa KS4 yang bekerja dengan MSM.

B.   Analisis Data

Seperti di sebutkan di atas, di kedua binaan berbasis di Inggris (MiC dan MSM), data telah dikumpulkan dari siswa binaan dan siswa control. Dalam hal control, siswa diambil dari kelas parallel di sekolah binaan dan juga non binaan, dan kinerja yang serupa dengan sekolah binaan.

Data yang telah dikumpulkan dari kelompok binaan dan kelompok control dalam beberapa cara. Dimana tujuan utama dalam artikel ini adalah “pemecahan masalah”.

Dalam tes pemecahan masalah, siswa-siswa diberikan waktu sepuluh menit untuk menyelesaikan setiap pertanyaan. Sehingga, pemecahan yang dihasilkan lebih spesifik, dan itu menggunakan metode analisis dan pendekatan tambahan atau tidak, siswa menemukan jawaban yang benar. Salah satu tujuan binaan adalan bagaimana membangun kemampuan matematika siswa. Tim program ini juga mengambil account dari isu-isu terkait  Hawthorne (Landsberger 1958) terkait dengan keuntungan konten tes sederhana dan oleh karena itu mencari untuk menemukan bukti dari perbedaan yang signifikan dalam pendekatan siswa-siswa untuk memecahkan masalah matematika. Setelah uji coba yang cukup besar, lima pertanyaan yang dibuat di seluruh target pencapaian dan semua proyek dan kelas kontrol bekerja secara individual lebih dari dua pelajaran. Pertanyaan yang datang di bawah judul umum 'pemecahan masalah' bahwa mereka diperlukan siswa untuk situasi 'mathematise' yang tidak mereka temukan sebelumnya. Untuk rincian lebih lanjut dari masalah MlC asli pemecahan tes, melihat Dickinson dan Eade (2005) (dalam Dickinson, 2010).

Data yang dibahas di sini yang dari siswa berusia 7 tahun untuk MiC (contoh ukuran 100) dan usia 10 dan 11 tahun untuk MSM (contoh ukuran 50). Dengan begitu banyak sekolah dan siswa yang terlibat, kami sangat yakin bahwa data yang dikumpulkan dapat dipertanggungjawabkan.

Kami berharap disini fokus pada dua topik, area, dan pecahan. Kami memilih ini yang pertama  karena perlakuan tradisional pada topik ini di tingkat menengah yang cenderung secara prosedural mendominasi dan kedua, karena mereka menunjukkan perbedaan antara proyek dan kelas kontrol terlihat di semua bidang kurikulum. Kami juga telah difokuskan pada hasil dari siswa berusia 7 tahun yang berada di bawah 40% dari pencapaian, jangkauan untuk nilai Sat KS2) sehingga hasil dari dua proyek dapat dibandingkan lebih mudah

C.   Luas

Disini, pertanyaan yang sama akan diberikan kepada siswa-siswa dalam kedua proyek, dengan hasil yang sangat mirip. Pertanyaannya adalah

Berapakah luas daerah pada gambar dibawah? Tunjukkan bagaimana anda menyelesaikannya!

Jika kelas kami, “menggambar cm kuadrat dan menghitung”, membagi menjadi persegi dan segitiga, dan memindahkan segitiga untuk membentuk persegi panjang untuk membuat pemecahan masalah. (dibandingkan ketika melakukan perhitungan numerik), 74% MiC dan lebih dari 80% dari Kelas MSM yang berusaha membuat beberapa pemecahan masalah (dengan lebih dari 50% jawaban benar). Hasil yang diperolh dari kelas control adalah 32% dan 37%. Menariknya, bagi kelas control, hal yang 'masuk akal' yaitu masalah cenderung  mendapatkan jawaban yang benar; tampaknya bahwa untuk kelas ini mereka bisa baik. Apakah pertanyaan atau mereka tidak bisa, tidak ada jalan tengah. Dalam kelompok proyek, kita melihat sekitar 25% dari siswa-siswa yang tidak bisa mendapatkan jawaban yang benar dan belum mampu membuat pemecahan yang masuk akal (misalnya melalui menghitung kotak).

Memang sebagian besar kelas kontrol mengadopsi metode murni numerik, hanya menambahkan, mengalikan, atau dalam beberapa cara yang rata-rata angka-angka yang muncul. Ini merupakan fakta bahwa semua akan menghitung kuadrat pada setiap daerah.  Ada saran yang kuat di sini bahwa memperkenalkan pengetahuan matematika yang formal terlalu dini, perkembangan pada siswa akan mengubah ide lebih informal dan meninggalkan pembelajaran tanpa pengetahuan pada semua aturan yang telah dilupakan (Anghileri (2002), Hart et al. (1989), dan Boaler (1998) untuk kesimpulan yang sama di matematika topik lainnya) (Dickinson, 2010)

A.   Pecahan

Dalam proyek kunci tahap 3 (MiC), pertanyaan-pertanyaan yang ditetapkan sebagai berikut.

a.    Pita telah terjual 1/3 potong dari satu meter.

Tunjukkan bagaimana banyak potongan yang terbentuk dari pita Yang panjangnya 4 meter.

b.    ¾ gelas yang terisi jeruk dan 1/3 gelas terisi jeruk.

Jelaskan bagaimana anda menuangkan kelas kedua ke dalam gelas pertama tanpa mangalami penguapan.

Pada jawaban yang benar untuk kelompok dengan kemampuan rendah, hasilnya sebagai berikut (n = 100)

Nomor pertanyaan	Kelas Utama	Kelas kontrol
2(a)	42%	7%
2(b)	54%	12%

Perbedaan cukup mencolok dan signifikan, selain proporsi jawaban yang benar, jumlah siswa menggambarkan kemajuan terhadap masalah. 50% kelas utama telah berusaha menggambarkan sesuatu pada bagian (a), dibandingkan dengan kelas control yang hanya 23%. Demikian pula dengan bagian (b), angka-angkanya 74% dan 49% .

Dalam Proyek Key Stage 4 (MSM), pertanyaan pecahan yang berbeda telah digunakan, sebagai bukti dari percobaan di sekolah local yang telah disarankan dari beberapa hasil yang menarik.

A.   Pertanyaan sederhana

Tentukanlah  ¼ + ½

Bagaimana anda mendapatkan jawaban dengan benar? Jelaskan

Mengingat bahwa siswa-siswa telah mempelajari pecahan setidaknya umur 7 tahun., data yang dikumpulkan ini cukup mengejutkan. Dalam hal ini siswa-siswa mendapatkan jawaban yang benar dengan (n = 50 dalam dua kasus) Mengingat bahwa siswa-siswa telah mempelajari pecahan setidaknya umur 7 tahun., data yang dikumpulkan ini cukup mengejutkan. Dalam hal ini siswa-siswa mendapatkan jawaban yang benar dengan (n = 50 dalam dua kasus)

% benar

Target kelas C

% benar

Target kelas D/E

Proyek

83%

57%

Kontrol

72%

30%

Cara terbaik dalam menganalisis siswa dalam bekerja adalah dengan melihat hasil dari kelas kontrol  sebagai tolak ukur mengetahui metode yang telah diajarkan dan prosedur yang diajarkan guru mereka, dengan harapan telah diikuti. Naskah demi naskah yang identik dalam hal mencari pemecahan masalah  (dua hal yang umum ditampilkan dalam Appendix 2). Terlihat bahwa siswa-siswa tingkat dasar lebih mampu mengingat metode dan mendapat jawaban yang benar. Tetapi jika mereka lupa dengan metodenya ( yang terjadi pada siswa-siswa kelas D/E) mereka membuat matematika menjadi sesuatu yang tidak berarti.  Berbeda kelas proyek tampaknya memiliki berbagai pendekatan dan mampu memahami masalah.

Hal yang menarik terjadi ketika ditanya alasan, kelas proyek sering menggambarkan sesuatu, membahas tentang  4 /4 membuat keseluruhan dan karenanya setengah menjadi 2/4, atau disebut pizza, kue, dll Kontrol siswa selalu disebut metode numerik, seringkali hanya menjelaskan apa yang mereka lakukan. Target kelas D / E, lebih dari 50% dari siswa mendapat jawaban 2/6 dengan sebagian besar percaya bahwa mereka benar dan mengutip fakta bahwa 1 + 1 = 2 dan 2 + 4 = 6 sebagai pembenaran mereka untuk ini. Tidak ada siswa proyek pada tingkat ini mendapat jawaban 2/6. Kami melihat bukti ini sebagai lanjut bahwa siswa diajarkan kurikulum PMR berbasis lebih mampu memahami matematika mereka, baik dalam mencapai jawaban, dan penalaran mengapa mereka merasa mereka benar. Di sisi lain, siswa diajarkan algoritma resmi tidak memiliki sumber informasi lainnya matematika untuk jatuh kembali jika algoritma tidak ingat benar. Satu kontrol siswa (Tahun 10 sasaran kelas D / E), ketika dihadapkan dengan ¼ + ½ berkomentar tellingly bahwa "saya terjebak dengan pertanyaan ini karena saya lupa metode".

B.   Penggunaan Konteks

Dalam PMR, konteks tidak hanya digunakan untuk menggambarkan penerapan dan relevansi matematika di dunia nyata, tetapi juga sebagai sumber untuk belajar matematika itu sendiri. Konteks dapat diambil dari dunia nyata, fiksi, atau dari area matematika yang sudah akrab dengan siswa. Hal itu penting bagi siswa agar terlihat nyata dan mereka terlibat di dalamnya sehingga mereka dapat memecahkan masalah yang masuk akal, tetapi juga penting bahwa mereka dapat bekerja dengan merefleksikan struktur matematika . kontek juga digunakan sebagai penelitian ekstensif dan perbedaan signifikan yang ditemukan pada buku standar di Inggris. 

Siswa di dorong memahami konteks menggunakan pengalaaman mereka, intuisi dan akal sehat. Kemudian mereka tetap dalam konteks, dan tetap pada level keputusan, dimana mereka mengembangkan kemampuan matematika. Kata “realistic” digunakan untuk menekankan bahwa siswa dapat membayangkan situasi.

Pengalaman menunjukkan bahwa, mereka tetap terhubung dengan konteks, siswa dapat  memahami apa yang mereka lakukan, dan tidak perlu resort untuk menghafal peraturan dan prosedur yang tidak memiliki arti bagi mereka. Matematika dan konteks tidak terpisahkan, salah satu mengalami keberhasilan menggambarkan keberhasilan yang lain. Jadi, misalnya ketika bekerja pada suatu area, pengertian tentang bagian bentuk relokasi dan menggambarkan array dominan. Jika formula atau aturan muncul, ini dianjurkan kembali ke konteks untuk validasi. Kami pecaya bahwa manfaat ini terlihat jelas dalam analisis pertanyaan trapezium- jauh dengan kelas poyek yang melihatnya sebagai prosedur numerik lainnya.

C.   Penggunaan Model

PMR memberikan pandangan berbeda tentang bagaimana konteks harus dipilih, dan bagaimana dapat digunakan untuk mendukung pengembangan kemampuan matematis.  Penggunaan “model” penting di sini ( Van Den Heuvel-Panhuizen (2003) untuk analisi mendalam tentang penggunaan model di bawah PMR).

Sebuah model muncul dari konteks. Awalnya mungkin menjadi gambaran yang lebih sedikit dari representasi, contohnya sebuah gambar, menjadi alat yang lebih canggih seperti garis bilangan, table rasio dan lain-lain.

Model yang menjembatani kesenjangan antara informal dan formal dan guru merasa sedikit tertekan untuk menggantikan pengetahuan informal dengan prosedur formal.  Para siswa akan menjadikan kemampuan matematikanya secara formal dengan model dan konteks yang mendukung proses matematika vertikal , sementara tetap mempertahankan “sense-making” elemen. Dengan cara ini, formal dan informal lebih mungkin untuk 'tetap terhubung' di benak para murid. Hal ini dibuktikan, misalnya, dengan murid proyek bekerja dengan pengetahuan umum menggunakan cara yang masuk akal bagi mereka, sesuatu hal  yang siswa non-proyek tampaknya tidak mampu melakukan. Model juga memungkinkan siswa untuk bekerja pada tingkat abstraksi yang berbeda, sehingga mereka yang mengalami kesulitan dengan pengetahuan formal yang lebih dapat membuat kemajuan dan memiliki strategi untuk memecahkan masalah.

Merupakan bagian penting dari pengembangan matematika siswa adalah pengakuan bahwa model yang sama dapat digunakan dalam berbagai situasi dan untuk struktur solusi untuk berbagai jenis masalah. Dalam Boaler (1998) menunjukkan, pendekatan tradisional tidak menyebabkan siswa mampu mengenali situasi yang 'matematis sama'. Tingkat matematika di tahun 1999 Kurikulum Nasional untuk Inggris bercirikan perkembangan siswa dengan cara prosedur yang mereka mampu melakukan dan kesulitan terhadap nomor yang mereka gunakan. Namun, dalam PMR, guru menggunakan berbagai banyak gambaran untuk mengukur kemajuan siswa. Ini termasuk mengamati penggunaan siswa dari model, wawasan dan refleksi serta landmark matematika dan prosedur (lihat Fosnot dan Dolk (2002) untuk pembahasan ini dalam konteks fraksi) (dalam Dickinson, 2010)

D.   Beberapa Strategi

Salah satu aspek dari menjadi 'fungsional' dalam matematika adalah mampu memilih strategi yang paling tepat untuk memecahkan masalah, daripada selalu mengandalkan satu strategi atau algoritma. Konteks di PMR dipilih untuk memperoleh berbagai strategi dan siswa terus didorong untuk memikirkan dan menyempurnakannya. Pelajaran akan melibatkan perbandingan dan evaluasi strategi siswa yang berbeda; prinsip dasar PMR adalah untuk membangun kecanggihan ke dalam prosedur-siswa yang dihasilkan bukan untuk guru untuk memaksakan 'metode standar' atau algoritma. Bukti ini jelas terlihat dalam Key Stage 4 dibahas di sini.

PMR mendorong pengembangan metode yang lebih formal dari metode informal yang siswa. Namun, juga memungkinkan siswa untuk terus dapat menggunakan metode informal yang tepat, dibandingkan mengandalkan yang diajarkan menggunakan metode solusi yang sesuai jenis masalah tertentu.

Kami merasa bahwa ada bukti yang signifikan di sini bahwa rata-rata dan rendah yang dicapai siswa di Inggris dapat memberikan keuntungan yang signifikan dari mengikuti kurikulum berbasis PMR dan dengan demikian mereka akan lebih mengerti  matematika dan karenanya menjadi lebih fungsional dalam subjek.

 

DAFTAR PUSTAKA

Barnes, Hayley. 2005. The theory of Realistic Mathematics Education as a theoretical framework for teaching low attainers in mathematics. Pythagoras 61 pp. 42-57.

Dickinson, Paul., Eade, Frank., Gough, Steve., & Hough, Sue. 2010. Using Realistic Mathematics Education with low to middle attaining pupils in secondary schools. Proceedings of the British Congress for Mathematics Education April 2010

Doorman, Michiel.,et al. 2007. Problem solving as a challenge for mathematics education in The Netherlands. ZDM Mathematics Education (2007) 39:405–418.

Van den Heuvel-Panhuizen, Marja., & Wijers, Monica. 2005. Mathematics standards and curricula in the Netherlands. ZDM 2005 Vol. 37 (4) Analyses.

Van den Heuvel-Panhuizen, M., & Drijvers, P. 2014. Realistic Mathematics Education. Encyclopedia of Mathematics Education (pp. 521-525).

Uzel, Devrim. 2006. Attitudes of 7th Class Students Toward Mathematics in Realistic Mathematics Education. International Mathematical Forum, 1, 2006, no. 39, 1951-1959.