PENERAPAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK PADA SISWA BERKEMAMPUAN RENDAH HINGGA MENENGAH DI SEKOLAH MENENGAH (BAB II TEORI PENDUKUNG)

PENERAPAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK PADA SISWA BERKEMAMPUAN RENDAH HINGGA MENENGAH DI SEKOLAH MENENGAH (BAB II TEORI PENDUKUNG)

A.   Pendidikan Matematika Realistik (PMR)

PMR dimulai sekitar tahun 1970. Tonggak awal dilakukan oleh Freudenthal dan rekan-rekannya di Development of Mathematics Education (IOWO), pendahulu tertua dari Freudenthal Institute (FI). Sebenarnya dorongan untuk gerakan Reformasi adalah awal tahun 1968, proyek Wiskobas, diprakarsai oleh Wijdeveld dan Goffree.

PMR sangat dipengaruhi oleh Freudenthal's (1977) (dalam Doorman, 2007). Dia merasa matematika harus terhubung ke realitas, tinggal bersama pengalaman anak-anak dan menjadi relevan kepada masyarakat, untuk menjadi manusia bernilai. Matematika tidak hanya dipandang sebagai pengetahuan siap pakai untuk ditransmisikan, Freudenthal menekankan ide matematika sebagai kegiatan manusia. Pembelajaran Matematika harus memberi kesempatan "pemandu" pada siswa untuk "menemukan kembali" matematika dengan melakukannya. Ini berarti bahwa di pendidikan matematika, titik fokus tidak boleh pada matematika sebagai sistem tertutup, tetapi pada aktivitas, pada proses matematisasi (Freudenthal, 1968) (Doorman, 2007).

De Lange mendefinisikan matematisasi sebagai "suatu kegiatan pengorganisasian dan penataan menurut yang diperoleh pengetahuan dan keterampilan yang digunakan untuk menemukan diketahui keteraturan, hubungan dan struktur "(1987, hal. 43) (dalam Van den Heuvel-Panhuizen, 2014).

De Lange (1987) (dalam Van den Heuvel-Panhuizen, 2014), masalah-masalah dunia nyata yang digunakan untuk pemecahan masalah dalam dua cara. Pertama, menurut teori pendidikan matematika realistik, dunia nyata adalah sumber atau titik awal untuk pengembangan konsep-konsep matematika (Freudenthal tahun 1991). Masalah kontekstual yang dipilih dengan baik menawarkan kesempatan bagi siswa untuk mengembangkan solusi informal, sangat spesifik konteks strategi, dan digunakan untuk mendukung pembentukan konsep matematika (Gravemeijer dan Doorman 1999) (dalam Doorman 2007). Dalam tahap ini, kriteria potensi pengembangan konsep matematika mendominasi kriteria keaslian. Pada kenyataannya, konteks bahkan mungkin agak tidak realistis atau di dalam matematika, jika pengembangan konsep membutuhkan itu. Namun, masalah kontekstual harus dialami sebagai masalah oleh siswa.

Sesuai Treffers dan Goffree, De Lange membahas komponen horizontal dan vertikal matematisasi. Menurut De Lange (1987, p. 43), horizontal komponen berkaitan dengan "pengalihan masalah untuk menyatakan masalah matematis ", dan komponen vertikal berhubungan dengan "pengolahan matematika dan perbaikan dari masalah dunia nyata berubah menjadi matematika "(De Lange, 1987, hal. 43) (Van den Heuvel-Panhuizen, 2014)

Dua jenis matematisasi yang dirumuskan secara eksplisit dalam konteks pendidikan oleh Treffers (1987) (dalam Van den Heuvel-Panhuizen, 2014) adalah matematisasi horisontal dan vertikal. Di horizontal matematisasi, siswa datang dengan alat-alat matematika, yang dapat membantu untuk mengatur dan memecahkan masalah terletak dalam situasi kehidupan nyata. Kegiatan-kegiatan berikut adalah contoh dari horisontal matematisasi: mengidentifikasi atau menggambarkan matematika tertentu dalam konteks umum, skematisasi, merumuskan dan memvisualisasikan masalah dalam cara yang berbeda, menemukan hubungan, menemukan keteraturan, mengenali isomorphic aspek dalam masalah yang berbeda, mentransfer masalah dunia nyata untuk masalah matematika dan mentransfer masalah dunia nyata untuk masalah matematika yang diketahui. Di sisi lain, vertikal matematisasi adalah proses reorganisasi dalam sistem matematika itu sendiri. Kegiatan-kegiatan berikut adalah contoh dari vertikal matematisasi: mewakili hubungan dalam formula, membuktikan keteraturan, menyempurnakan dan menyesuaikan model, menggunakan model yang berbeda, menggabungkan dan mengintegrasikan model, merumuskan model matematis dan generalisasi.

Freudenthal (1991) (dalam Van den Heuvel-Panhuizen, 2014) menyatakan "horisontal matematisasi melibatkan pergi dari dunia kehidupan ke dunia simbol, sementara vertikal matematisasi berarti bergerak dalam dunia simbol." Tetapi ia menambahkan bahwa perbedaan antara kedua jenis ini tidak selalu jelas. Proses reinvention dapat diilustrasikan dan itu menunjukkan bahwa baik horisontal dan vertikal matematisasi mengambil tempat untuk mengembangkan konsep-konsep dasar matematika atau bahasa matematika formal.

Menurut De Lange (1987, p. 43), horisontal komponen berkaitan dengan "pengalihan masalah untuk menyatakan masalah matematis", dan komponen vertikal berhubungan dengan "pengolahan matematika dan perbaikan dari masalah dunia nyata berubah menjadi matematika" (De Lange, 1987, hal. 43) (Van den Heuvel-Panhuizen, 2014).

Freudenthal (1991, hlm. 41-42) (dalam Van den Heuvel-Panhuizen, 2014) membedakan horisontal dan vertikal mathematization sebagai berikut:

[…] Horizontal mathematisation leads from the world of life to the world of symbols. In the world of life one lives, acts (and suffers); in the other one symbols are shaped, reshaped, and manipulated, mechanically, comprehendingly, reflectingly; this is vertical mathematisation.

Mathematisation Horizontal mengarah dari dunia kehidupan ke dunia simbol. Di dunia hidup satu kehidupan, bertindak (dan mengalami); di lain satu simbol yang berbentuk, mengubah bentuk, dan dimanipulasi, mekanis, memahami, mencerminkan; ini adalah matematika vertikal.

Freudenthal juga menegaskan peran yang sama matematika horisontal dan vertikal dan kehadiran mereka di semua tingkatan kegiatan matematika (Van den Heuvel-Panhuizen, 1996, hal. 11; Nguyen Thanh Thuy, 2005, hal. 26) (Van den Heuvel-Panhuizen, 2014).

De Lange (1987, p. 43) (dalam Van den Heuvel-Panhuizen, 2014) menyebutkan beberapa kegiatan yang mengandung horisontal yang kuat

komponen:

•        Mengidentifikasi matematika spesifik dalam konteks umum;

•        Schematizing;

•        Merumuskan dan memvisualisasikan masalah dengan cara yang   berbeda;

•        Menemukan hubungan;

•        Menemukan keteraturan;

•        Mengakui aspek isomorfik di masalah yang berbeda;

•        Mentransfer masalah dunia nyata untuk masalah matematika;

•        Mentransfer masalah dunia nyata untuk model matematika dikenal.

Dia juga mengacu pada beberapa aktivitas yang mengandung komponen vertikal yang kuat:

•       Mewakili hubungan dalam formula;

•       Menyediakan keteraturan;

•       Penyulingan dan menyesuaikan model;

•       Menggunakan model yang berbeda;

•       Menggabungkan dan mengintegrasikan model;

•       Merumuskan konsep matematika baru;

•       Generalisasi.

(De Lange, 1987, hal. 44) (dalam Van den Heuvel-Panhuizen, 2014)

Pembelajaran dimulai dari masalah kontekstual. Menggunakan kegiatan dalam matematisasi horisontal, sebagai contoh, siswa keuntungan informal atau formal model matematis. Dengan melaksanakan kegiatan seperti pemecahan, membandingkan dan membahas, siswa berkaitan dengan vertikal matematisasi dan berakhir sampai dengan solusi matematika. Kemudian, siswa menafsirkan solusi serta strategi, yang digunakan untuk masalah kontekstual yang lain. Akhirnya, siswa telah menggunakan pengetahuan matematika.

Treffers mengklasifikasikan pendidikan matematika menjadi empat jenis berkaitan dengan matematisasi horisontal dan vertikal (Lihat tabel saya). Klasifikasi ini jelas digambarkan oleh Freudenthal (1991) (dalam uzel 2006) :

Tabel I: Empat jenis pendidikan matematika

Jenis	Horisontal Matematisasi	Matematisasi vertikal
Mekanistik	-	-
Empiristic	+	-
Structuralist	-	+
Realistis	+	+

Dalam tren mekanistik (atau aritmatika), tidak ada fenomena digunakan sebagai sumber kegiatan matematika, sedikit perhatian diberikan untuk aplikasi dan penekanan adalah pada belajar melalui penghafalan. Hal ini menyebabkan kelemahan dalam matematisasi horizontal maupun vertikal. Tren pendapat menempatkan penekanan kuat pada horisontal matematisasi bahwa penekanan adalah pada lingkungan daripada operasi mental. Matematika formal tujuan tidak memiliki sebagai prioritas tinggi ada sedikit tekanan untuk pelajar untuk lulus ke tingkat yang lebih tinggi, sehingga menunjukkan kelemahan sehubungan dengan vertikal matematisasi. Dalam tatanan pengajaran struktur matematika menekankan, dominasi komponen vertikal. Hal ini dibuktikan dalam pendekatan ini dalam bahwa bagian dari prinsip kegiatan matematika beroperasi dalam sistem matematika.

Bukan fenomena nyata, sangat dan materializations konsep-konsep matematika atau struktur atau permainan struktural yang digunakan untuk membuat dasar yang kuat untuk para peserta didik  bekerja dan fenomena nyata kemudian tidak berfungsi sebagai model untuk mendukung operasi dalam sistem matematika. Dalam instruksi realistis matematika Namun, perhatian diutamakan untuk komponen kedua.

Verschaffel & Corte (1997), Heuvel (1997), Rasmussen & King (2000), Altun (2002), Kwon (2002), Binta¸s et al (2003), Widjaja & Heck (2003) ext. digunakan RME digunakan di mereka studi. Para peneliti menemukan bahwa semakin banyak subjek datang ke siswa sebagai nyata, belajar yang terbaik terjadi dan analisis data menunjukkan bahwa ada jarak yang berarti terhadap kelompok eksperimen di mana RME diterapkan (Van den Heuvel-Panhuizen, 2014).

Harus diakui bahwa nama "Pendidikan Matematika Realistik" agak membingungkan dalam hal ini. Alasannya, mengapa reformasi pendidikan matematika Belanda disebut "realistis," itu bukan hanya karena hubungannya dengan dunia nyata, tetapi terkait dengan penekanan bahwa PMR menempatkan pada menawarkan situasi masalah siswa yang dapat mereka bayangkan. Terjemahan Belanda "membayangkan" adalah "REALISEren zich." Ini adalah penekanan pada membuat sesuatu yang nyata dalam pikiran Anda yang memberi PMR namanya. Untuk masalah disampaikan kepada siswa ini berarti bahwa konteks dapat menjadi salah satu dari dunia nyata, tapi ini tidak selalu diperlukan. Fantasi dunia dongeng dan bahkan dunia formal matematika dapat memberikan konteks cocok untuk masalah, selama mereka adalah nyata dalam pikiran siswa.

Dalam PMR, dunia nyata digunakan sebagai titik awal untuk pengembangan konsep matematika dan ide-ide. Dunia nyata adalah sisa dunia luar matematika, yaitu, sekolah atau universitas mata pelajaran atau disiplin ilmu yang berbeda dari matematika, atau kehidupan sehari-hari dan dunia di sekitar kita. Namun, kita harus berhati-hati karena dunia nyata di sini adalah dunia yang konkret untuk siswa. Sebuah konsep mungkin konkret untuk matematika, tapi belum tentu konkret untuk anak-anak. De Lange (1996) (dalam Van den Heuvel-Panhuizen, 2014) mendefinisikan kebenaran dunia nyata sebagai dunia yang datang di anak-anak dan siswa melalui matematika dalam aplikasi. Ini adalah sebuah cara untuk memahami pembelajaran matematika siswa seperti itu terjadi dalam situasi nyata.

Proses pengembangan konsep-konsep matematika dan ide mulai dari dunia yang sebenarnya disebut 'matematisasi Konseptual'. Sebuah skema model untuk proses belajar ini digambarkan dalam Gambar 3.1.

 

Pemecahan masalah Terapan merupakan pendekatan awal untuk pengajaran matematika sesuai keadaan sebenarnya. Blum dan Niss (1989) (dalam Van den Heuvel-Panhuizen, 2014) mendefinisikan masalah sebagai suatu situasi, yang membawa ke pertanyaan terbuka yang secara intelektual menantang seseorang yang tidak segera menggunakan metode langsung untuk menjawab pertanyaan itu. Masalah matematika dibagi menjadi masalah terapan dan murni matematika. Masalah terapan mengacu pada masalah dimana situasi dan pertanyaan mendefinisikan tentang beberapa bagian dunia nyata dan memungkinkan beberapa konsep matematika, metode, dan hasilnya, untuk terlibat. Sedangkan masalah murni matematika, i mendefinisikan situasi yang sepenuhnya termasuk di beberapasemesta matematika. Pemecahan masalah adalah seluruh proses berhubungan dengan Masalah murni atau diterapkan upaya untuk menyelesaikannya.

Dua pandangan penting Freudenthal tentang PMR adalah :

a.   Mathematics as human activity, sehingga siswa harus diberi kesempatan untuk belajar melakukan aktivitas matematisasi pada semua topik dalam matematika dan

b.   Mathematics must be connected to reality, sehingga matematika harus dekat terhadap siswa dan harus dikaitkan dengan situasi kehidupan sehari-hari.

Dua poin penting tentang pandangan yang matematika harus terhubung dengan kenyataan dan matematika sebagai aktivitas manusia. Pertama, matematika harus dekat dengan anak-anak dan sesuai dengan setiap situasi kehidupan sehari-hari. Namun, kata 'realistis', merujuk tidak hanya untuk koneksi dengan dunia nyata, tetapi juga mengacu pada situasi masalah yang nyata dalam pikiran siswa. Untuk masalah yang harus disampaikan kepada siswa ini berarti bahwa konteks dapat menjadi-dunia nyata tapi ini tidak selalu diperlukan. De Lange (1996) menyatakan bahwa situasi masalah juga dapat dilihat sebagai penerapan atau modeling.

Kedua, ide matematika sebagai aktivitas manusia ditekankan. Pendidikan matematika terorganisir sebagai proses penemuan kembali yang dipandu, di mana siswa dapat mengalami proses yang sama dibandingkan dengan proses dimana matematika diciptakan. Arti dari penemuan adalah langkah-langkah dalam pembelajaran proses sedangkan makna dipandu adalah lingkungan pembelajaran dari proses pembelajaran. Misalnya, sejarah matematika dapat digunakan sebagai sumber inspirasi untuk desain saja.

Selain itu, prinsip penemuan kembali juga bisa terinspirasi oleh prosedur solusi informal. strategi Informal siswa sering dapat diartikan sebagai mengantisipasi prosedur yang lebih formal. Pada kasus ini, proses penemuan kembali menggunakan konsep dari matematisasi sebagai panduan.

A.   Prinsip Pendidikan Matematika Realistik (PMR)

Prinsip pengajaran matematika PMR adalah domain teori instruksi tertentu yang didasarkan pada pandangan tentang matematika sebagai subjek, pandangan tentang bagaimana anak-anak belajar matematika dan pandangan tentang bagaimana matematika harus diajarkan (Van den Heuvel-Panhuizen, 2005). Pandangan ini dapat ditandai dengan enam prinsip berikut, masing-masing mencerminkan karakteristik tertentu dari identitas PMR. Beberapa dari prinsip berasal lebih dari sudut pandang pembelajaran dan beberapa yang terhubung lebih dekat dengan perspektif pengajaran.

1.    Prinsip Kegiatan

Ide matematisasi jelas mengacu pada konsep matematika sebagai suatu kegiatan, menurut Freudenthal (1971, 1973), yang terbaik dapat dipelajari dengan melakukan (lihat juga Treffers, 1978, 1987). Para siswa, bukannya penerima matematika siap pakai, diperlakukan sebagai peserta aktif dalam proses pendidikan, di mana mereka mengembangkan segala macam alat-alat matematika dan wawasan sendiri. Menurut Freudenthal (1973), menggunakan kurikulum ilmiah terstruktur, di mana siswa dihadapkan dengan matematika siap pakai, adalah "anti-didactic inversion" Hal ini didasarkan pada asumsi yang salah bahwa hasil pemikiran matematika, ditempatkan dalam subject, kerangka masalah dapat ditransfer langsung ke siswa. (dalam Van den Heuvel-Panhuizen, 2005).

Prinsip aktivitas berarti bahwa siswa dihadapkan dengan situasi masalah di mana, misalnya, mereka dapat menghasilkan pecahan dan secara bertahap mengembangkan cara algoritma perkalian dan pembagian, berdasarkan cara informal bekerja. Sehubungan dengan prinsip ini, "own productions" memainkan peran penting dalam PMR.

2.    Prinsip Realitas

Seperti dalam kebanyakan pendekatan untuk pendidikan matematika, PMR bertujuan memungkinkan siswa untuk menerapkan matematika. Tujuan keseluruhan dari pendidikan matematika adalah bahwa siswa harus belajar untuk menggunakan pemahaman dan alat-alat matematika mereka untuk memecahkan masalah. Ini berarti bahwa mereka harus belajar "matematika sehingga berguna" (lihat Freudenthal, 1968) (dalam Van den Heuvel-Panhuizen, 2005).

Dalam PMR, bagaimanapun, prinsip realitas ini tidak hanya dikenal pada akhir proses pembelajaran di bidang aplikasi; realitas juga dipahami sebagai sumber untuk belajar matematika. Sama seperti matematika muncul dari matematisasi realitas, sehingga harus belajar matematika juga berasal matematisasi kenyataan. Bahkan di tahun-tahun awal PMR itu menekankan bahwa jika anak-anak belajar matematika dengan cara yang terisolasi, bercerai dari pengalaman mereka, itu akan cepat dilupakan dan anak-anak tidak akan mampu menerapkannya (Freudenthal, 1971, 1973, 1968). Daripada dimulai dengan abstraksi atau definisi tertentu untuk diterapkan kemudian, seseorang harus mulai dengan konteks yang kaya menuntut organisasi matematika atau, dengan kata lain, konteks yang dapat mathematized (Freudenthal, 1979, 1968). Dengan demikian, ketika bekerja pada masalah konteks, siswa dapat mengembangkan alat matematika dan pemahaman. (dalam Van den Heuvel-Panhuizen, 2005).

3.    Prinsip Level

Belajar matematika berarti siswa melewati berbagai tingkat pemahaman: dari kemampuan untuk menciptakan solusi-konteks terkait informal dengan penciptaan berbagai tingkat pintas dan schematizations, dengan akuisisi wawasan prinsip-prinsip yang mendasari dan penegasan dari hubungan yang lebih luas. Kondisi di tingkat berikutnya adalah kemampuan untuk merefleksikan kegiatan yang dilakukan. Refleksi ini dapat ditimbulkan oleh interaksi.

Model berfungsi sebagai perangkat penting untuk menjembatani kesenjangan antara informal matematika-konteks terkait dan lebih ke matematika formal. Pertama, siswa mengembangkan strategi berhubungan erat dengan konteks. Kemudian, aspek-aspek tertentu dari situasi konteks dapat menjadi lebih umum, yang berarti bahwa konteks memperoleh lebih banyak dan lebih karakter model dan dengan demikian dapat memberikan dukungan untuk memecahkan masalah lain, namun tetap terkait,. Akhirnya, model memberikan siswa akses ke pengetahuan matematika formal. Untuk memenuhi fungsi yang menjembatani antara tingkat informal dan formal, model harus beralih dari "model tentang" situasi tertentu ke "model untuk" semua jenis situasi lain, tapi setara,

The bus context (Van den Brink, 1989) adalah contoh dari kehidupan sehari-hari yang dapat berkembang ke tingkat yang lebih umum dan formal. Pada awalnya, ilustrasi digunakan untuk menggambarkan perubahan di halte bus. Kemudian, konteks bus menjadi "model untuk" memahami semua jenis kalimat nomor, dan kemudian para siswa dapat jauh melampaui konteks bus nyata. Mereka bahkan dapat menggunakan model untuk penalaran mundur (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003b) (Van den Heuvel-Panhuizen, 2005).

Kebutuhan penting untuk memiliki model berfungsi dengan cara ini adalah bahwa mereka berakar pada situasi konkret dan bahwa mereka juga cukup fleksibel untuk menjadi berguna dalam tingkat yang lebih tinggi dari kegiatan matematika. Ini berarti bahwa model akan memberikan para siswa dengan pijakan selama proses matematisasi vertikal, tanpa menghalangi jalan kembali ke sumber.

Kekuatan tingkat prinsip adalah memandu pertumbuhan pemahaman matematika dan memberikan kurikulum yang koherensi longitudinal. Perspektif jangka panjang ini adalah karakteristik dari PMR. Ada fokus yang kuat pada hubungan antara apa yang telah dipelajari sebelumnya dan apa yang akan dipelajari kemudian. Sebuah contoh yang kuat dari "longitudinal" model tersebut adalah nomor baris. Ini dimulai di kelas pertama sebagai (a) kalung manik-manik di mana siswa dapat berlatih semua jenis kegiatan menghitung. Di kelas yang lebih tinggi, rantai manik-manik berturut-turut menjadi (b) sebuah nomor baris kosong untuk mendukung penambahan dan pengurangan, (c) garis nomor ganda untuk mendukung masalah pada rasio, dan (d) sebagian kecil / persentase bar untuk mendukung bekerja dengan pecahan dan persentase.

4.    Prinsip Intertwinement

Hal ini juga karakteristik PMR bahwa matematika, sebagai subjek sekolah, tidak dibagi menjadi beberapa pengetahuan khusus. Dari perspektif matematika yang lebih dalam, domain dalam matematika tidak dapat dipisahkan. Mereka semua terkait satu sama lain. Selain itu, sering kali memecahkan masalah konteks yang beragam berarti bahwa kita harus menerapkan berbagai alat-alat matematika dan pemahaman.

Misalnya, jika anak-anak diperlihatkan gambar yang menunjukkan sebuah gedung apartemen dengan bendera di atas dan mereka diminta untuk memperkirakan ukuran bendera ini, maka mereka menghadapi berbagai domain matematika seperti estimasi, pengukuran, rasio dan geometri.

Kekuatan prinsip intertwinement adalah bahwa ia membawa koherensi dengan kurikulum. Prinsip ini mengacu tidak hanya pada domain yang berbeda dari matematika, tetapi juga dapat ditemukan dalam diri mereka. Dalam beberapa jumlah, misalnya, topik seperti number sense, aritmatika mental, estimasi dan algoritma yang erat terkait.

5.    Prinsip Interaksi

Dalam PMR, pembelajaran matematika dianggap kegiatan sosial. Pendidikan harus menawarkan kesempatan siswa untuk berbagi strategi dan penemuan mereka satu sama lain. Dengan mendengarkan apa yang orang lain tahu dan mendiskusikan temuan ini, para siswa bisa mendapatkan ide-ide untuk meningkatkan strategi mereka. Selain itu, interaksi dapat membangkitkan refleksi, yang memungkinkan siswa untuk mencapai tingkat yang lebih tinggi dari pemahaman.

Pentingnya prinsip interaksi menyiratkan bahwa mengajar seluruh kelas memainkan peran penting dalam pendekatan PMR untuk pendidikan matematika. Namun, ini tidak berarti bahwa seluruh kelas melakukan secara bersama dan setiap siswa adalah mengikuti cara yang sama dan mencapai tingkat yang sama dalam perkembangan pada saat yang sama. Sebaliknya, dalam PMR, anak-anak dianggap sebagai individu, masing-masing mengikuti jalur pembelajaran individu. Pandangan ini pada belajar sering mengakibatkan permintaan untuk berpisah kelas menjadi kelompok-kelompok kecil siswa, masing-masing sebagai berikut jalur belajar mereka sendiri. Dalam PMR, terdapat preferensi yang kuat untuk menjaga kelas bersama-sama sebagai unit organisasi di mana berbagai metode pengajaran dapat diterapkan; mulai dari mengajar seluruh kelas untuk kerja kelompok menjadi kerja individu. Selain itu, dalam struktur ini menjaga kelas bersama-sama, perbedaan diwujudkan dengan memberikan siswa dengan masalah yang dapat diselesaikan pada tingkat yang berbeda pemahaman.

6.    Prinsip Bimbingan

Salah satu prinsip utama Freudenthal untuk pendidikan matematika adalah bahwa hal itu harus memberikan siswa "dipandu" kesempatan untuk "menemukan kembali" matematika. Ini berarti bahwa dalam PMR baik guru dan program pendidikan memiliki peran pro-aktif. Mereka mengarahkan proses pembelajaran, tetapi tidak dengan cara yang tetap dengan menunjukkan apa yang dimiliki siswa untuk belajar. Pendekatan seperti itu akan bertentangan dengan prinsip aktivitas dan akan menyebabkan pemahaman semu. Sebaliknya, siswa perlu ruang untuk membangun wawasan matematika dan alat-alat sendiri. Untuk mencapai ini, para guru harus memberikan para siswa lingkungan belajar di mana proses konstruksi ini dapat muncul. Salah satu syarat untuk ini adalah bahwa guru harus mampu meramalkan di mana dan bagaimana mereka dapat mengantisipasi pemahaman dan keterampilan siswa yang terlihat dari kejauhan (lihat juga Streefland, 1985b) (Van den Heuvel-Panhuizen, 2005). Program pendidikan harus berisi skenario yang memiliki potensi untuk bekerja sebagai tuas dalam pergeseran pemahaman siswa. Hal ini penting untuk skenario ini bahwa mereka selalu memiliki perspektif proses pembelajaran jangka panjang, berdasarkan tujuan pendidikan matematika ditujukan. Tanpa perspektif ini, tidak mungkin untuk membimbing belajar siswa. Dengan kata lain, pada prinsipnya bimbingan ini "bagaimana" dan "apa" saling bertemu.

B.   Mengembangkan Pendidikan Matematika Realistik

Teori RME adalah salah satu yang terus-menerus "dalam pembangunan", sedang dikembangkan dan disempurnakan dalam siklus yang sedang berlangsung merancang, bereksperimen, menganalisa dan merefleksi (Gravemeijer, 1994). Penelitian pengembangan memainkan peran sentral dalam proses ini dan, berbeda dengan model desain pembelajaran tradisional, berfokus pada proses belajar-mengajar, fokus pada proses mental peserta didik (Rasmussen & Raja, 2000). Proses siklik eksperimen pemikiran dan percobaan instruksional membentuk inti dari metode penelitian perkembangan dan melayani fungsi ganda (lihat Gambar 2). Mereka berdua memperjelas peneliti belajar tentang peserta didik berpikir dan mengatasi urusan pragmatis merevisi urutan instruksional (Gravemeijer, 1999). Urutan instruksional yang dirancang oleh pengembang kurikulum yang dimulai dengan eksperimen pemikiran yang membayangkan peserta didik rute bisa diciptakan untuk diri mereka sendiri. Pelajaran dilaksanakan dan proses yang sebenarnya dari pembelajaran yang terjadi dalam kaitannya dengan lintasan diantisipasi dianalisis. Analisis ini kemudian dapat memberikan informasi berharga untuk merevisi kegiatan pembelajaran. (Barnes, 2005)

C. Prinsip-prinsip Desain Instruksional PMR

Gravemeijer (1994, 1999) (dalam Barnes, 2005) mengidentifikasi tiga heuristic prinsip utama dari PMR untuk proses desain pembelajaran, yaitu:

•    The principle of guided reinvention melalui mathematisation progresif

•    Fenomenologi didactical

•    Pengembangan diri

1.   The principle of guided reinvention melalui mathematisation progresif

The principle of guided reinvention mengharuskan memilih masalah kontekstual yang baik untuk disampaikan kepada peserta didik yang memberikan mereka kesempatan untuk mengembangkan solusi informal yang sangat-konteks pada strategi tertentu (Doorman, 2001). Prosedur penyelesaian Informal dapat berfungsi sebagai pijakan penemuan untuk formalisasi dan generalisasi, sebuah Proses disebut sebagai "mathematising progresif" (Gravemeijer, 1994). Proses reinvention diatur dalam gerak ketika peserta didik sehari-hari mereka menggunakan bahasa (deskripsi informal) untuk struktur masalah kontekstual ke informal menjadi lebih formal atau ke bentuk matematika. Itu Oleh karena itu desainer instruksional mencoba untuk mengkompilasi sebuah himpunan masalah yang dapat menyebabkan serangkaian proses yang bersama-sama menghasilkan penciptaan kembali matematika dimaksudkan (Petugas, 2001) (Barnes, 2005).

Idenya adalah bahwa peserta didik tidak diharapkan menemukan kembali segala sesuatu sendiri tapi itu Konsep Freudenthal tentang "guided reinvention" harus berlaku (Freudenthal, 1973). Ini harus pada gilirannya memungkinkan peserta didik untuk menganggap pengetahuan mereka memperoleh pengetahuan yang mereka telah yang bertanggung jawab dan milik mereka. Dengan bimbingan, peserta didik diberikan kesempatan untuk membangun pengetahuan matematika mereka sendiri menyimpan atas dasar ini. Kata "realistis" dalam Teori PMR tidak menunjukkan bahwa bagaimanapun konteks sehari-hari perlu terus dicari atau digunakan untuk memotivasi peserta didik untuk menemukan kembali matematika. Sebaliknya, konteks yang dipilih untuk digunakan dalam proses desain pembelajaran harus berdasarkan pengalaman nyata bagi peserta didik, relevan dan menantang untuk bertindak sebagai katalis untuk mathematisation progresif (Freudenthal, 1973; Gravemeijer, 1994; Treffers, 1987) (dalam Barnes, 2005).

2.    Prinsip Fenomenologi didactical

Prinsip ini dianjurkan oleh Freudenthal (1973) (dalam Barnes, 2005) dan menyiratkan bahwa dalam belajar matematika, kita harus mulai dari fenomena bermakna dengan pelajar, dan bahwa semacam pengorganisasian dilakukan dan yang merangsang proses belajar. Menurut Treffers dan Goffree (1985) (dalam Barnes, 2005) ini Prinsip harus memenuhi empat fungsi: • Pembentukan Konsep (untuk memungkinkan peserta didik  Akses alam dan memotivasi untuk matematika),

•  Pembentukan Model (untuk memasok suatu perusahaan dasar untuk belajar formal operasi, prosedur, dan aturan di hubungannya dengan model lainnya sebagai dukungan untuk berpikir),

•  Penerapan (untuk memanfaatkan realitas sebagai sumber dan domain aplikasi),

•  Praktek (untuk latihan spesifik kemampuan peserta didik dalam menerapkan situasi).

3.    Prinsip Pengembangan diri

Prinsip ketiga ini untuk desain instruksional di PMR memainkan peran penting dalam menjembatani kesenjangan antara pengetahuan informal dan formal (Gravemeijer, 1994). Dalam rangka mewujudkan prinsip ini, peserta didik diberi kesempatan untuk menggunakan dan mengembangkan model mereka sendiri ketika memecahkan masalah. Istilah "model" dipahami di sini dalam dinamis, rasa menyeluruh dan peserta didik meningkatkan model mereka dengan menggunakan model yang sebelumnya dan pengetahuan mereka tentang matematika. Sebagai konsekuensinya, symbolisations yang terdiri model dan telah berakar dalam proses pemodelan yang dapat berubah dari waktu ke waktu. Oleh karena itu kemajuan peserta didik dari apa yang disebut sebagai "model-dari" kegiatan terletak pada "model-untuk" alasan yang lebih canggih (Gravemeijer & Petugas, 1999 seperti dikutip dalam Kwon, 2002) (Barnes, 2005).

D.   Prinsip Belajar Mengajar

Menurut de Lange (1987) (dalam Barnes, 2005) ada lima prinsip belajar mengajar :

(1) penggunaan konteks kehidupan nyata; (2) penggunaan penggunaan model; (3) produksi bebas siswa; (4) interaksi; (5) terjalinnya. Bagian-bagian berikut membahas pembelajaran PMR dan prinsip satu persatu mengajar.

Bagian berikut membahas belajar dan mengajar prinsip PMR satu per satu.

1.    Membangun dan Mengkongkretkan

Prinsip pembelajaran pertama PMR adalah bahwa belajar matematika adalah konstruktif Kegiatan, sesuatu yang bertentangan dengan ide belajar sebagai penyerap pengetahuan yang disajikan atau dikirimkan (Treffers, 1991a). Pada ajaran ide, instruksi harus mulai dengan dasar orientasi kuat. di lain kata, instruksi telah ditekankan pada eksplorasi fenomenologis (Gravemeijer, 1994). Dari fenomena yang perlu diselenggarakan sebagai titik awal, guru dapat merangsang siswa untuk memanipulasi cara ini pengorganisasian (Barnes, 2005).

2.    Tingkat dan Model

Dalam prinsip ini, pembelajaran konsep matematika atau keterampilan dipandang sebagai Proses yang sering mengulurkan dalam jangka panjang dan yang bergerak di berbagai tingkat abstraksi (dari informal untuk formal dan dari tingkat intuitif ke tingkat sistematika subjek-materi) (Treffers, 1991a). Sekarang bagaimana membantu menjembatani kesenjangan antara berbagai tingkat? Menggunakan bridging jangka oleh vertikal instrumen. Gravemeijer (1994) menganjurkan bahwa perhatian yang luas harus diberikan untuk model visual, situasi model, dan skema yang muncul dari pemecahan masalah kegiatan karena akan membantu siswa untuk bergerak melalui berbagai tingkatan (Barnes, 2005).

3.    Refleksi dan Tugas Khusus

Prinsip pembelajaran ketiga dalam PMR terkait dengan pengibaran tingkat proses belajar. Menurut Graveimeijer (1994) dan Treffers (1991a) yang Proses membesarkan dipromosikan melalui refleksi, perhatian serius karena itu harus dibayarkan untuk konstruksi dan produksi siswa sendiri. Pada prinsip ajaran: siswa harus terus memiliki kesempatan dan dirangsang di saat-saat penting dalam kursus, untuk merefleksikan bagian yang dipelajari dan ditemukan dan untuk mengantisipasi apa yang ada di depan (Treffers, 1991a). Menyadari prinsip ini kita harus memberikan para siswa dengan tugas khusus, misalnya masalah konflik, orang-orang yang dapat merangsang produksi gratis siswa (Barnes, 2005).

4.    Konteks Sosial dan Interaksi

Prinsip pembelajaran keempat terkait dengan pentingnya konteks sosial, seperti Treffers (1991a) mengatakan bahwa belajar bukanlah kegiatan solo tapi itu terjadi di masyarakat dan diarahkan dan dirangsang oleh konteks sosial budaya. Dengan bekerja berkelompok-kelompok misalnya, siswa memiliki kesempatan untuk pertukaran ide dan argumen sehingga mereka bisa belajar dari orang lain. Prinsip ini menyiratkan bahwa pendidikan matematika harus oleh alam bersifat interaktif. Ini berarti interaktivitas yang mencakup eksplisit negosiasi, intervensi, diskusi, kerjasama dan evaluasi menjadi unsur yang sangat penting dalam proses pembelajaran yang konstruktif (Gravemeijer (1994) (Barnes, 2005).

5.    Penataan dan Menghubungkan

Prinsip pembelajaran terakhir terhubung ke prinsip pertama. Menurut Treffers (1991a) matematika pembelajaran tidak terdiri dari menyerap koleksi  dari yang tidak terkait unsur pengetahuan dan keterampilan, tetapi adalah konstruksi pengetahuan  dan keterampilan untuk entitas terstruktur. Selain itu, Gravemeijer (1994) mengatakan bahwa  pendekatan holistik, yang mencakup aplikasi, menyiratkan bahwa hubungan belajar tidak dapat ditangani sebagai entitas yang terpisah; sebaliknya, sebuah terjalinnya pembelajaran helai dimanfaatkan dalam pemecahan masalah. Pernyataan ini membawa kita ke Prinsip pengajaran: hubungan pembelajaran dalam matematika harus terjalin dengan satu sama lain.

Aspek-aspek yang meliputi pengajaran matematika dengan pendekatan PMR antara lain :

1.    Memulai pelajaran dengan mengajukan masalah (soal) yang "riil" bagi siswa sesuai dengan pengalaman dan tingkat pengetahuannya, sehingga siswa segera terlibat dalam pelajaran bermakna;

2.    permasalahan yang diberikan tentu harus diarahkan sesuai dengan tujuan yang ingin dicapai dalam pelajaran tersebut.

3.    Siswa mengembangkan atau menciptakan model-model sombolik secara informal terhadap persoalan/ masalah yang diajukan.

pengajaran berlangsung secara interaktif: siswa menjelaskan dan memberikan alasan terhadap jawaban yang diberikannya, memahami jawaban temannya (siswa lain), setuju terhadap jawaban temannya, menyatakan ketidaksetujuan, mencari alternatif penyelesaian yang lain; dan melakukan refleksi terhadap setiap langkah yang ditempuh atau terhadap hasil pelajaran.

Beberapa konsepsi PMR tentang siswa, guru dan pembelajaran  yang mempertegas bahwa PMR pantas untuk dikembangkan di Indonesia.

a.    Konsepsi PMR tentang siswa.

1.   Siswa memiliki seperangkat konsep alternative tentang ide-ide matematika yang mempengaruhi belajar selanjutnya.

2.   Siswa memperoleh pengetahuan baru  dengan membentuk pengetahuan itu untuk dirinya sendiri.

3.   Pembentukan pengetahuan merupakan proses perubahan yang meliputi penambahan, kreasi, modifikasi, penghalusan , penyusunan kembali dan penolakan.

4.   Pengetahuan baru yang dibangun oleh siswa untuk dirinya sendiri berasal dari seperangkat ragam pengalaman.

5.   Setiap siswa tanpa memandang ras, budaya dan jenis kelamin mampu memahami dan mengerjakan matematik.

b.   Konsepsi PMR tentang guru

1.   Guru hanya sebagai fasilitator  dalam pembelajaran.

2.   Guru harus mampu membangun pembelajaran yang interaktif

3.   Guru harus memberi kesempatan kepada siswa untuk secara aktif terlibat pada proses pembelajaran dan secara aktif membantu siswa dalam menafsirkan persoalan riil;

4.   Guru tidak terpancang pada materi yang ada didalam kurikulum tetapi aktif mengaitkan kurikulum dengan dunia riil baik fisik maupun sosial.

c.   Konsepsi PMR tentang pembelajaran matematika.

1.   Memulai pelajaran dengan mengajukan masalah yang riil bagi siswa  sesuai dengan pengalaman  dan tingkat pengetahuannya sehingga siswa segera terlibat dalam pembelajaran secara bermakna.

2.   Permasalahan yang diberikan tentu harus diarahkan sesuai dengan tujuan yang ingin dicapai dalam pembelajaran tersebut.

3.   Siswa mengembangkan atau menciptakan model-model simbolik secara informal terhadap permasalahan yang diajukan.

4.   Pembelajaran berlangsung secara interaktif, siswa menjelaskan dan memberikan alasan terhadap jawaban yang diberikannya, memahami jawaban temannya, setuju terhadap jawaban temannya, menyatakan ketidaksetujuan,mencari alternative penyelesaian yang lain dan melakukan refleksi terhadap setiap langkah yang ditempuh atau terhadap hasil pembelajaran.

Langkah-langkah dalam proses pembelajaran matematika dengan pendekatan realistik adalah sebagai berikut:

1.   Memahami masalah kontekstual. Guru memberikan masalah kontekstual dalam kehidupan sehari-hari dan meminta siswa untuk memahaminya. Pada tahap ini ”karakteristik” pembelajaran matematika dengan pendekatan realistik adalah menggunakan masalah-masalah kontekstual yang diangkat sebagai topik awal.

2.   Menjelaskan masalah kontekstual. Guru menjelaskan situasi dan kondisi dari soal dengan cara memberikan petunjuk atau saransaran (bersifat terbatas) terhadap bagian-bagian tertentu yang belum dipahami siswa.

3.   Menyelesaikan masalah kontekstual. Siswa secara individual menyelesaikan masalah kontekstual dengan cara mereka sendiri. Peran guru disini adalah memotivasi siswa untuk menyelesaikan masalah dengan cara mereka sendiri. Tahap ini siswa dibimbing untuk ”reinvention”’ (menemukan) sendiri tentang ide/konsep dari soal matematika secara progresif.

4.   Membandingkan dan mendiskusikan jawaban. Guru memberikan waktu dan kesempatan kepada siswa untuk membandingkan dan mendiskusikan jawaban secara berkelompok.

5.   Menyimpulkan. Dari hasil diskusi, guru mengarahkan siswa untuk menarik kesimpulan suatu konsep.

Sintaks pendekatan matematika realistik dapat dirumuskan sebagai berikut ;

No	Fase	Aktifitas
1	Menyajikan masalah kontekstual	-          Guru memberikan masalah kontekstual dan mengarahkan siswa untuk memamahami masalah tersebut -          Memberikan motivasi kepada siswa dalam kelompok untuk mengembangkan model yang yang mungkin -          Menjadi fasilitator dan membangun pembelajaran yang interaktif.
2	Menjelaskan masalah kontekstual	-          Siswa diarahkan untuk mengumpulkan informasi dari masalah kontekstual -          Memberikan kesempatan kepada siswa untuk merencanakan penyelesaian sesuai dengan  model of yang diutarakan siswa. -          Memberikan dorongan dan motivasi untuk melaksanakan dan mengembangkan rencana penyelesaian yang ditetapkan kelompok/siswa
3	Menyelesaikan masalah kontektual	-          Siswa melaporkan/mempresentasikan hasil kerja kelompok. Siswa/kelompok lain menanggapi. -          Guru memimpin diskusi,memberikan pertanyaan, dan mengarahkan siswa mencapai tujuan pembelajaran
4.	Membandingkan dan mendiskusikan jawaban	-          Guru memberi pertanyaan lisan ketika kegiatan belajar mengajar berlangsung dan memberi penjelasan tentang materi dan penemuan siswa. -          Siswa memeriksa kembali hasil kerja kelompoknya -          Menerapkan cara penyelesaian yang terbaik dan paling tepat dari cara penyelesaian yang telah didiskusikan sebelumnya.
5.	Menyimpulkan	-          guru memberi pertanyaan yang berkaitan dengan materi lain dalam mata pelajaran matematika atau materi mata pelajaran lain. -          siswa menghubungkan materi yang sedang dipelajari dengan materi lain dalam matematika dan pengetahuan dari mata pelajaran yang lain

E.    Kelebihan dan Kekurangan PMR

Kelebihan dari PMR, antara lain sebagai berikut:

1.   Memberikan pengertian yang jelas dan operasional kepada siswa tentang keterkaitan antara matematika dengan kehidupan sehari-hari  (kehidupan dunia nyata) dan tentang kegunaan matematika pada umumnya bagi manusia.

2.   Memberikan pengertian yang jelas dan operasional kepada siswa bahwa matematika merupakan bidang kajian yang dikonstruksi dan dikembangkan sendiri oleh siswa, tidak hanya bagi pakar dalam bidang tersebut.

3.   Memberikan pengertian yang jelas dan operasional kepada siswa bahwa cara penyelesaian suatu soal atau masalah tidak harus tunggal, dan tidak harus sama antara orang yang satu dengan yang lain. Setiap orang bisa menemukan dan menggunakan caranya sendiri asalkan orang tersebut bersungguh-sungguh dalam mengerjakan soal atau masalah tersebut. Selanjutnya dengan membandingkan cara penyelesaian yang satu dengan yang lainnya akan bisa diperoleh cara penyelesaian yang paling tepat, sesuai dengan tujuan dan proses penyelesaian masalah tersebut.

4.   Memberikan pengertian yang jelas dan operasional kepada siswa bahwa dalam mempelajari matematika, proses pembelajaran merupakan suatu yang utama, dan untuk mempelajari matematika orang harus menjalani proses itu dan berusaha untuk menemukan sendiri konsep-konsep matematika dengan bantuan pihak lain misalnya guru. Tanpa kemauan untuk menjalani proses tersebut, pembelajaran yang bermakna tidak akan terjadi.

Sedangkan kelemahan dari PMR sebagai berikut:

1.   Upaya mengimplementasikan PMR membutuhkan perubahan pandangan yang mendasar mengenai berbagai hal yang tidak mudah untuk dipraktikan,  misalnya mengenai peran siswa,  guru dan peran masalah kontekstual. Pada  PMR siswa tidak dipandang sebagai pihak yang mempelajari segala sesuatu yang sudah jadi, tetapi dipandang sebagai pihak yang aktif mengkonstruksi konsep-konsep matematika. Guru tidak lagi sebagai pengajar utama, tetapi lebih sebagai pendamping siswa. Peranan masalah kontekstual tidak dipandang sekedar sebagai wadah untuk menerangkan aplikasi dari matematika, tetapi justru digunakan sebagai titik tolak untuk mengkonstruksi konsep matematika itu sendiri.

2.   Pencarian masalah-masalah kontekstual yang nemenuhi syarat-syarat yang dituntut PMR tidak selalu mudah untuk setiap topik matematika yang perlu dipelajari siswa, lebih-lebih karena masalah tersebut harus dapat diselesaikan dengan bermacan-macam cara.

3.   Upaya mendorong siswa agar bisa menemukan berbagai cara untuk menyelesaikan masalah merupakan hal yang tidak mudah dilakukan guru.

4.   Proses pengembangan berpikir siswa, melalui masalah kontekstual, proses matematisasi horizontal dan vertical juga bukan merupakan sesuatu yang sederhana karena proses dan mekanisme siswa harus diikuti dengan cermat agar guru bisa membantu siswa dalam melakukan penemuan kembali terhadap konsep-konsep matematika tertentu.

5.   Dalam pembelajaran PMR terlalu banyak menghabiskan waktu.

6.   Bagi kelas yang banyak siswa dalam lebih dari 20 orang guru sulit mengamati dan memberikan petunjuk atau bantuan kepada siswa dalam pembelajaran.

7.   Penilaian untuk pembelajaran dengan realistik bukan penilaian hasil, tetapi lebih mengutamkan proses sehingga lebih sulit dan kompleks.

Selanjutnya BAB 3 (PENGAJARAN MATEMATIKA) dan BAB 4 (DAFTAR PUSTAKA)