Diringkas dari The Psychology ofLearning Mathematics
Oleh Richard R. Skemp
 |
Selamat Berbahagia Sahabat Mathematics, dalam Share materi kali ini Tutorial Matematika Online membahas PEMBENTUKAN KONSEP-KONSEP MATEMATIKA (BAB 2) |
Istilah konsep
telah banyak digunakan, namun tidak mudah untuk mendefinisikannya. Sehingga akan digunakan pendekatan
dengan berbagai contoh untuk dapat mendefinisikan sebuah konsep. Karena konsep
matematika adalah konsep yang paling abstrak, maka kita akan membahasnya sampai
tuntas.
Pertama, dua
contoh pra-verbal. Seorang bayi berusia dua bulan, setelah selasai menghisap
botolnya, merangkak ke lantai ruang tamu ke tempat botol susu kosong yang
terletak diantara dua botol anggur kosong. Seorang anak berusia dua tahun
melihat bayi di lantai tersebut, kemudian anak tersebut memberikan perlakuan
yang sama layaknya seekor anjing yang pernah ia lihat, dengan menepuk di kepala
dan membelai punggungnya, karena ia belum pernah melihat bayi merangkak
sebelumnya.
Dalam kedua
kasus diatas, perilaku anak-anak tersebut menyiratkan; satu, semacam
klasifikasi pengalaman mereka sebelumnya; dua, mengaitkan pengalaman
terbaru mereka dengan pengalaman sebelumnya. Kita semua melakukan hal tersebut
sepanjang waktu, yaitu membawa pengalaman masa lalu pada situasi saat ini.
Kegiatan ini berlangsung terus menerus, dan otomatis menghasilkan hal-hal yang
tak terduga.
Pada tingkat
yang lebih rendah, setiap kali kita mengenali sebuah obyek, kita
mengklasifikasikannya seperti obyek yang telah kita lihat sebelumnya. Dua obyek berbeda yang kita terima mungkin
sama, karena kita melihat kedua objek tersebut pada jarak, sudut, dan juga
cahaya yang berbeda. Dari berbagai data yang masuk, kita mengabstrakkan
sifat-sifat invarian tertentu dan sifat-sifat tersebut bertahan dalam memori
lebih lama daripada memori tentang bentuk tertentu dari suatu objek.
Dalam diagram, c1,
c2, ... merupakan pengalaman masa lalu berturut-turut tentang obyek
yang sama; misalnya, sebuah kursi. Dari sebuah kursi, kita mengabstrakkan sifat
umum tertentu, yang diwakili oleh C pada diagram. Setiap Cn
pengalaman lebih lanjut menguatkan C, dan kursi tersebut diakui. Setiap
pengalaman yang digambarkan dalam C1, C2, C3,
..., Cn dan kombinasinya dialami bersama dan memiliki kesamaan.
Selanjutnya kita
akan mengalami abstraksi lebih lanjut. Dari kursi tertentu, kita dapat
mengabstraksikan lebih lanjut, yaitu dengan memunculkan Ch dengan melalui C,
C’, C’’, .... yang nantinya dengan karakteristik tersebut akan membawa kita ke
tingkat lanjut, misalnya fungsinya atau sifat fisiknya. Cara mengabstraksikan
kursi, dapat diterapkan untuk mengabstraksikan benda yang lain, misalnya meja,
karpet, dan sebagainya.
Mengabstrakkan
adalah sebuah aktivitas dimana kita menyadari adanya kesamaan antara suatu
obyek. Mengklasifikasikan berarti mengumpulkan bersama-sama pengalaman kita
atas dasar kesamaan antara suatu obyek. Sebuah abstraksi adalah perubahan
mental jangka panjang, hasil mengabstrakkan, yang memungkinkan kita mengakui
pengalaman baru yang mempunyai kesamaan yang telah dibentuk. Untuk membedakan
antara mengabstraksi sebagai suatu aktivitas, dan abstraksi sebagai hasil
akhir, maka abstraksi sebagai hasil akhir disebut dengan konsep.
Sebuah konsep
diperlukan untuk pembentukan sejumlah pengalaman yang umum. Konsep berasal dari
pengalaman sehari-hari, dan contoh-contoh dalam pembentukan konsep terjadi
secara acak, serta mempunyai tenggang waktu. Pada umumnya, obyek yang lebih
sering ditemui akan dikonsepkan dengan lebih cepat. Namun, terdapat faktor lain
yang membuat pengonsepan tersebut menjadi lebih sederhana, salah satunya adalah
kontras. Pada diagram berikut, bentuk X terlihat lebih menonjol daripada lima
bentuk yang lain.
Objek yang lebih menonjol dari
lingkungannnya cenderung lebih mudah diingat.
2.
Penamaan
Perbedaan antara
konsep dan namannya adalah satu hal yang penting bagi diskusi kita. Konsep
adalah sebuah ide, nama dari konsep adalah suara, atau tulisan yang terkait
dengannya. Asosiasi ini dapat terbentuk setelah konsep telah terbentuk, atau
dalam proses pembentukan konsep.
Jika suatu nama yang sama didengar atau dilihat setiap kali kita
menemukan sebuah
contoh, pada
saat itu sebuah konsep terbentuk dan nama menjadi begitu melekat. Sebagai contoh, antara angka (yang merupakan konsep-konsep
matematika) dan nomor(nama yang kita gunakan untuk angka).
Penamaan dapat juga berguna untuk
pembentukan konsep baru. Mendengar nama yang sama dengan pengalaman yang
berbeda akan mudah mempengaruhi
kita untuk mengumpulkan mereka bersama
dalam pikiran kita, dan meningkatkan kesempatan kita untuk mengabstrakkan
persamaan intrinsik mereka (berbeda dengan ekstrinsik yang menyebutnya dengan
nama yang sama). Percobaan dapat juga menunjukkan bahwa menghubungkan nama yang
berbeda dengan kelas yang berbeda karakteristiknya membantu kita untuk mangklasifikasikan
contoh selanjutnya dengan benar, walaupun jika contoh selanjutnya tidak diberi
nama. Nama membantu untuk memisahkan kelas mereka.
3.
Komunikasi konsep
Bahasa dapat digunakan untuk
mempercepat pembentukan konsep, melalui proses mengumpulkan dan memisahkan
kontribusi dari contoh dan bukan contoh. Sebagai contoh, terdapat dua cara yang
kita dapat lakukan untuk mengkomunikasikan warna merah. Pertama, dengan
cara memberikan definisi merah. Merah
adalah warna yang kita alami dari cahaya dengan panjang gelombang di wilayah
0-6 mikron. Namun definisi ini kadang tidak berhasil membuat seseorang memiliki konsep merah. Kedua, dengan menunjuk
objek-objek tertentu yang berwarna merah. Dengan cara ini kita akan membuat seseorang memiliki konsep dari
merah dalam waktu bersamaan.
Kemudian, jika kita ingin
mengkomunikasikan konsep warna pada seseorang, kita dapat mengumpulkan beberapa
contoh warna untuknya; misalnya merah, biru, hijau, kuning, dan sebagainya
sehingga konsep warna akan terbentuk. Selanjutnya, jika dia sudah mendapat
konsep ini dalam pikirannya, maka dengan mengumpulkan beberapa kata untuk warna
tersebut, kita dapat mengaturnya untuk mengumpulkan bersama beberapa konsep. Penamaan
(atau beberapa simbolisasi lain) adalah
faktor penting dari abstraksi, dan tidak hanya sebagai tambahan.
Terdapat dua macam konsep,
1.
Konsep
primer; yaitu konsep yang berasal dari pengalaman sensorik dan
motorik. Misalnya: merah, mobil, berat, panas, manis dan sebagainya.
2.
Konsep
sekunder;
yaitu konsep yang
diabstrakkan dari konsep-konsep yang lain. Jika konsep A adalah
contoh dari konsep B, maka kita dapat mengatakan bahwa B mempunyai tingkat yang
lebih tinggi dari A. Artinya B lebih abstrak dari A. Kemudian, jika A adalah
sebuah contoh dari B, dan B dari C, maka C mempunyai tingkatan yang lebih tinggi dari A dan B, yang artinya C lebih abstrak dari A
dan B. Perbandingan ini hanya dapat dibuat diantara konsep pada hirarki yang
sama.
Cara lain dalam mengkonunikasikan sebuah
konsep dapat dilakukan dengan cara berikut. Misalnya jika seseorang bertanya
“apa warna magenta?” dan kita tidak dapat menemukan objek yang berwarna, maka kita dapat mengatakan
padanya, “magenta
adalah warna, antara merah dan biru, agak lebih ke biru daripada merah”. Jika dia sudah mempunyai
konsep biru dan merah, maka dengan mudah dia
dapat membentuk konsep magenta tanpa pernah melihat warna ini.
Dalam matematika, bagaimanapun, tidak hanya konsep yang
jauh lebih abstrak daripada kehidupan
sehari-hari, tetapi sebagian besar bagian arah pembelajaran mempunyai abstraksi
lebih besar. Komunikasi konsep matematika adalah jauh lebih sulit, pada kedua
komunikator dan penerima. Masalah ini akan dibahas selanjutnya.
Salah satu konsekuensi lain dari prinsip
ini, bahwa konsep yang lebih tinggi tingkatannya tidak dapat dikomunikasikan
dengan definisi. Ini berarti bahwa konsep itu sendiri tidak dapat didefinisikan sehingga dibutuhkan konsep tertentu untuk
menjadi contoh dari konsep ini. Namun, kita dapat mendeskripsikan beberapa
karakteristik dari konsep, mendiskusikan bagaimana fungsinya dan membangun
pengertian umum tentang ide dengan menghubungkannya pada ide-ide lain. Sama halnya dengan
matematika, matematika tidak dapat didefinisikan dengan jelas tetapi hanya
dapat dicontohkan.
4.
Konsep
sebagai warisan budaya
Kriteria untuk memiliki sebuah
konsep tidak hanya dapat menyebut namanya, tetapi dari perilaku dalam cara
menunjukkan mengklasifikasikan data baru sesuai dengan kesamaan yang dipakai
untuk membentuk konsep. Ada dua cara untuk
mengembangkan dan memfungsikan konsep. Pertama, dengan menunjukkan
sebuah contoh dari konsep tersebut. Kedua, dengan
mendengarkan, membaca atau yang lain yang membuat
kita menyadari nama atau simbol lain dari suatu konsep. Hal ini
berhubungan dengan kemampuan abstrak, karena semakin kuat konsep yang dimiliki
tidak didasarkan pada data yang masuk akal langsung tetapi pada kesamaannya
dengan konsep terdahulu yang telah dimiliki.
Konsep adalah cara pengolahan data yang memungkinkan pengguna untuk
membawa pengalaman berguna masa lalu untuk diterapkan pada situasi sekarang.
Setiap individu memiliki konsep untuk membentuk lingkungan sendiri secara langsung. Tanpa bahasa, konsep-konsep utama
tidak dapat dibawa bersama-sama untuk membentuk konsep tingkat tinggi. Selain itu, konsep-konsep
masa lalu, yang dengan susah payah terabstrakkan, perlahan-lahan terakumulasi
oleh generasi berturut-turut, menjadi tersedia untuk membantu setiap individu
membentuk sistem konseptualnya sendiri.
5.
Kekuatan Pemikiran
Konseptual
Pemikiran konseptual
menganugerahkan pada pengguna kekuatan yang luar biasa untuk menyesuaikan
perilakunya dengan lingkungan, dan untuk membentuk lingkungannya, agar sesuai dengan kebutuhan sendiri. Hasil sebagian pelepasan
konsep dari data yang dirasakan saat ini dan perilaku, dan manipulasi bebas
mereka.
Kekuatan
konsep juga berasal dari kemampuan mereka untuk menggabungkan dan berhubungan
dengan pengalaman berbeda, dan kelas pengalaman. Semakin abstrak konsep,
semakin besar kekuasaan mereka untuk melakukan hal ini. Satu set fakta dapat digunakan
hanya dalam keadaan mana mereka berasal, sedangkan teori yang tepat
memungkinkan kita untuk menjelaskan, meramalkan, dan mengendalikan sejumlah
peristiwa besar tertentu yang berkaitan.
Kekuatan pemikiran
konseptual berkaitan dengan sempitnya rentang perhatian kita. Memori jangka
pendek kita hanya dapat menyimpan, rata-rata, 7 kata atau simbol lainnya.
(Rentang yang biasanya dikutip adalah 3-7). Jadi, semakin tinggi urutan konsep yang mewakili simbol-simbol ini, semakin
besar pengalaman yang disimpan mereka.
Matematika adalah konsep yang paling abstrak, sehingga paling kuat dari
semua sistem teoritis. Bagi siswa yang tidak serius dalam belajar matematika di
sekolah, mereka tidak akan menemukan kenikmatan dan hanya mendapat sedikit
keuntungan dalam belajar matematika. Padahal sebagian siswa mengalami proses
belajar yang menarik dan menyenangkan, meskipun banyak menemui kesulitan.
6.
Pembelajaran Konsep
Matematika
Banyak
pengetahuan sehari-hari yang kita pelajari langsung dari lingkungan kita, dengan keterlibatan konsep
yang tidak
terlalu abstrak. Masalah khusus dalam matematika terletak pada keabstrakkan
yang besar dan umum, dicapai oleh generasi-generasi yang cerdas, atau
generalisasi konsep generasi sebelumnya. Para pelajar sekarang harus memproses,
bukan data mentah, tetapi sistem pengolahan data-matematika yang ada. Hal ini
tidak hanya memberikan keuntungan yang beragam, namun siswa mampu memperoleh
ide-ide untuk mengembangkan usaha masa lalu. Matematika tidak dapat dipelajari
langsung dari matematikawan lain. Sehingga
ini membuat siswa sangat tergantung pada guru-gurunya
Prinsip-prinsip
dari pembelajaran matematika antara lain:
1.
Konsep yang lebih tinggi tingkatannya tidak dapat
dikomunikasikan dengan definisi tetapi hanya dengan menggunakan contoh-contoh.
2.
Karena dalam matematika contoh-contoh ini hampir selalu berkaitan dengan konsep lainnya, maka terlebih dahulu konsep awal harus sudah terbentuk dalam pikiran pelajar.
Guru yang
baik, secara intuisi membantu membentuk definisi dengan contoh-contoh. Contoh-contoh
yang diberikan harus memiliki kesamaan sifat-sifat yang membentuk
konsep, dan tidak memiliki makna atau
persepsi lain. Dengan
kata lain, siswa harus sama dalam cara mengabstrakkan.
Untuk
prinsip kedua dalam kedua prinsip di atas, proses abstraksi
mungkin lebih mudah jika konsep-konsep tingkat rendah lebih dikuasai. Berarti
sebelum kita mencoba untuk menyampaikan suatu konsep baru, kita harus mencari
tahu apa pendukung konsep tersebut; dan untuk masing-masing, kita harus
mengetahui konsep pendukung tersebut; dan seterusnya, sampai kita mencapai
konsep-konsep baik primer, atau pengalaman yang kita dapat mengasumsikan
sebagai ‘pemberian’.
Ada dua konsekuensi lain dari prinsip kedua. Yang pertama adalah bahwa
dalam membangun struktur abstraksi berturut-turut, tingkat tertentu harus
dipahami secara sempurna. Ketergantungan dalam matematika mungkin lebih besar daripada
subjek lain. Siswa tidak mungkin dapat memahami aljabar tanpa benar-benar
memahami aritmatika, karena itu banyak siswa belajar untuk melakukan manipulasi
aritmatika dengan memahami secara sempurna prinsip-prinsip mendasar pada
aritmatika umum. Itulah yang membuat matematika tetap menjadi buku tertutup bagi
mereka. Bahkan mereka yang mendapatkan ke sebuah awal yang baik bisa melalui
absensi, kekurangan perhatian, kegagalan untuk mengikuti kecepatan kelas, atau
alasan lain, gagal untuk membentuk konsep-konsep dari beberapa tahapan
tertentu.
Konsekuensi lain (prinsip kedua) adalah konsep pendukung yang dibutuhkan harus tersedia untuk setiap abstraksi tahap
baru. Hal ini tidak cukup bagi pelajar untuk belajar berada di beberapa waktu
di masa lalu, sehingga konsep pendukung harus dapat dengan mudah diakses bila
diperlukan.
7.
Belajar dan Mengajar
Dalam pembelajaran matematika, meskipun kita harus menciptakan semua
konsep baru dalam pikiran kita sendiri, kita hanya dapat melakukan ini dengan
menggunakan konsep matematikawan terdahulu. Hal ini membuat pembelajaran
matematika, khususnya dalam tahap awal, dan untuk rata-rata siswa, sangat
tergantung pada pengajaran yang baik. Untuk mengetahui matematika adalah satu
hal tersendiri, dan hal yang
paling kurang pada saat ini adalah untuk mengajarkannya dengan mengkomunikasikan matematika kepada siswa di tingkat konseptual rendah. Akibatnya, banyak siswa yang takut
dan tidak menyukai matematika di sekolah
Banyak upaya-upaya yang dapat dilakukan untuk memperbaiki hal ini,
misalnya dengan pengenalan silabus baru, presentasi lebih menarik, serial
televisi, dan sarana lainnya. Upaya ini semua akan menjadi nilai yang lebih
besar jika mereka mengkombinasikan dengan kesadaran yang lebih besar pada
keterlibatan proses mental dalam
pembelajaran matematika.
KESIMPULAN
- Mengabstrakkan adalah sebuah aktivitas dimana kita menyadari adanya kesamaan antara suatu obyek.
- Mengklasifikasikan berarti mengumpulkan bersama-sama pengalaman kita atas dasar kesamaan antara suatu obyek.
- Abstraksi (konsep) adalah perubahan mental jangka panjang, hasil mengabstrakkan, yang memungkinkan kita mengakui pengalaman baru yang mempunyai kesamaan yang telah dibentuk.
- Konsep terbentuk berdasarkan pengklasifikasian pengalaman atas kesamaan antara sifat-sifat suatu obyek yang telah diabstrakkan hingga mampu bertahan dalam memori yang cukup lama.
- Penamaan berguna dalam pembentukan konsep baru, karena ketika mendengar nama obyek yang sama dalam pengalaman yang berbeda kita akan dengan mudah mengklasifikasikannya dan kemudian mengabstrakkannya. Adanya bahasa akan dapat mempercepat pembentukan konsep.
- Matematika adalah konsep yang paling abstrak, dan paling kuat dari semua sistem teoritis. Akibatnya, banyak siswa yang takut dan tidak menyukai matematika di sekolah
- Terdapat dua prinsip dalam mempelajari matematika:
a.
Konsep yang lebih
tinggi tingkatannya, tidak dapat dikomunikasikan melalui suatu definisi, tetapi
dapat dikomunikasikan hanya dengan cara
mengarahkannya untuk menemukan sekelompok contoh yang sesuai.
b.
Karena dalam matematika
contoh-contoh ini hampir selalu berkaitan dengan konsep lainnya, maka terlebih
dahulu konsep awal harus sudah terbentuk
dalam pikiran siswa.
