Meskipun
dalam bab sebelumnya perhatian kita dipusatkan pada pembentukan konsep tunggal,
masing-masing dengan sifatnya tertanam dalam struktur konsep lain. Setiap
(kecuali konsep primer) berasal dari konsep lain, dan berkontribusi terhadap
pembentukan dari yang lain, maka itu adalah bagian dari hirarki. Tetapi pada
setiap tingkat klasifikasi alternatif yang mungkin, mengarah ke hirarki yang
berbeda. Sebuah mobil dapat digolongkan sebagai kendaraan ( dengan bus, kereta
api, pesawat terbang ), sebagai simbol status (dengan suatu gelar, suatu
panggilan yang baik, suatu mantel bulu), sebagai sumber pendapatan pedalaman (
dengan tembakau, minuman, dan anjing lisensi ), sebagai ekspor (dengan piringan
hitam, wiski Scotch, Harris tweed), dan lain-lain. Terlebih lagi, konsep kelas
di mana kita telah bicarakan sejauh ini tidak berarti satu-satunya jenis.
Mengingat koleksi, bukan dari benda tunggal tetapi pasangan benda, kita mungkin
menyadari kesamaan antara pasangan . Sebagai contoh :
Di sini kita melihat bahwa
masing-masing pasangan ini dapat dihubungkan dengan gagasan '... adalah anaknya
... '. Contoh lain :
Bristol , Inggris ; Hull , Inggris; Rotterdam,
Belanda.
Dalam
hal ini , masing-masing pasangan dapat dihubungkan dengan gagasan ' ... adalah
Pelabuhan
dari ...' . Kedua ide menghubungkan tersebut adalah contoh ide baru yang
disebut relasi .
Sebuah relasi matematis dapat dilihat
dalam himpunan pasangan berikut .
( 6 , 5 ) , ( 2 , 1 ) , ( 9 , 8 ) , ( 32 , 31 ) ...
Kita
dapat menyebut relasi ini 'adalah satu lebihnya dari ' atau ' adalah rangkaian dari ' .
Contoh
matematis lain:
( 1/2 , 2/4 ) , ( 1/3 , 2/6 ) , ( 1/4 , 2/8 ) ...
Relasi
ini disebut ' setara dengan '. Fraksi-fraksi di
masing-masing pasangan, meskipun
tidak
identik, mewakili bilangan yang sama. Terlihat (1) bahwa dalam matematika itu
adalah biasa untuk menyertakan pasangan dalam hubungan yang diberikan dalam
kurung , seperti di atas, (2) bahwa urutan dalam pasangan biasanya penting. Ini
:
( 5 , 6 ) , ( 1 , 2 ) , ( 8 , 9 ) , ( 31 , 32 )
adalah
relasi yang berbeda dari ini :
( 6 , 5 ) , ( 2 , 1 ) , ( 9 , 8 ) , ( 32 , 31 )
Kita bahkan dapat mulai mengelompokan relasi-relasi
ini. Relasi-relasi matematia yang diberikan sebagai contoh pada paragraf terakhir dipilih untuk contoh dua
jenis tertentu : relasi urutan dan relasi kesetaraan. Relasi urutan lainnya
adalah : lebih besar dari, adalah nenek moyang dari, yang terjadi setelah . Relasi
kesetaraan lainnya adalah : adalah seukuran dengan, adalah saudara kandung dari,
adalah warna yang sama dengan. Kedua relasi urutan dan relasi kesetaraan
memiliki sifat umum yang penting . Jadi kita tidak hanya memiliki struktur hirarkis
konsep kelas, tetapi struktur lain dari relasi individu dan relasi kelas, yang
membentuk hubungan silang dalam struktur pertama. Sumber lain dari hubungan
silang muncul dari kemampuan kita untuk ' mengubah satu ide ke ide lain ' dengan
melakukan sesuatu untuk itu .
Contoh : baik → buruk panas → dingin tinggi → rendah
Contoh lain : baik → terbaik buruk → terburuk tinggi → tertinggi
'Sesuatu yang bisa kita lakukan untuk
sebuah ide ' ini disebut transformasi , atau yang lebih umum sebuah fungsi. Ada banyak jenis transformasi,
dan, terlebih lagi, kita dapat menggabungkan dua transformasi tertentu untuk
mendapatkan transformasi lain (hanya salah satu dapat menggabungkan dua nomor
untuk mendapatkan yang lain). Misalnya dengan mengkombinasikan dua transformasi
di atas kita mendapatkan
Baik → terburuk, panas → terdingin, dll
Jadi
transformasi keduanya terhubung di antara mereka sendiri , dan juga sumber lain
hubungan
antara ide-ide yang mereka terapkan.
Hal tersebut di atas menawarkan
singkat, dan mungkin lebih
terkonsentrasi, sekilas kekayaan dan berbagai cara di mana konsep bisa saling
terkait, dan struktur yang dihasilkan. Studi tentang struktur sendiri merupakan
bagian penting dari matematika , dan studi tentang cara-cara di mana mereka
dibangun, dan fungsi, di bagian paling inti dari psikologi pembelajaran
matematika.
Sekarang, ketika sejumlah komponen yang cocok
terhubung sesuai, kombinasi yang dihasilkan mungkin memiliki sifat yang akan
sulit untuk memprediksi dari pengetahuan tentang sifat-sifat komponen individu.
Berapa banyak dari kita bisa memprediksi dari pengetahuan tentang sifat-sifat
yang terpisah dari transitors, kondensor, resistor dan yang seperti itu, ketika
hal-hal tersebut terhubung, hasil akan memungkinkan kita untuk mendengar siaran
radio?
Begitu pula dengan
konsep dan struktur konseptual. Fungsi
baru dari struktur listrik yang dijelaskan di atas ditandai dengan nama baru -
radio transistor. Juga, struktur
konseptual memiliki nama sendiri-skema. Istilah
tidak hanya mencakup struktur konseptual matematika kompleks, tetapi struktur
yang relatif sederhana yang mengkoordinasikan aktivitas sensorik-motorik. Di
sini kita seharusnya mengaitkan dengan skema konseptual abstrak. Bab sebelumnya
telah menunjukkan bahwa konsep-konsep memiliki asal-usul mereka dalam
pengalaman indrawi , dan aktivitas motorik lebih ke arah, dunia luar. Tapi
mereka segera dilepas dari asal-usul mereka, dan pengembangan lebih lanjut
berlangsung dengan interaksi dengan matematikawan lain, dan dengan satu sama
lain.
Di antara fungsi-fungsi baru yang
dimiliki skema, di luar sifat-sifat yang terpisah dari konsep individu, adalah
sebagai berikut: mengintegrasikan
pengetahuan yang telah dimiliki, sebagai alat untuk pembelajaran selanjutnya,
serta memungkinkan munculnya suatu pemahaman.
FUNGSI
PENYATUAN/PENGINTEGRASIAN DARI SUATU SKEMA
Ketika kita mengenali sesuatu sebagai
contoh dari suatu konsep kita dapat mengetahuinya pada dua tingkat: sebagai
sesuatu itu sendiri, dan sebagai anggota dari suatu golongan. Demikian juga
ketika kita melihat beberapa bagian dari mobil, dengan sendirinya kita dapat
mngenalinya sebagai bagian dari golongan mobil pribadi. Tetapi golongan konsep
ini dihubungkan oleh mental skema kita dengan skema yang sangat banyak, yang
ada untuk membantu kita beradaptasi terhadap berbagai situasi yang diakibatkan
dari mobil. Andaikan mobil tersebut akan dijual, kemudian semua pengalaman kita
dengan mobil ikut dijual untuk menunjang mobil tsb, pemeriksaan-pemeriksaan
penampilannya mungkin dapat terpanggil kembali, pertanyaan-pertanyaan yang
harus dipertanyakan sekarang pada mobil tersebut. Andaikan harganya di luar
keseimbangan saldo bank kita saat ini, kemudian sumber penghasilan (pinjaman
bank, biaya penyewaan) datang pada pemikiran. Andaikan dengan kemugkinan lain
bahwa mobil tersebut berada di jalan, tetapi mengalami kendala (kerusakan), kemudian
hal-hal yang dapat membantu antara lain bengkel terdekat, nomor telepon yang
dapat dihubungi.
Kebanyakan skema ini sudah dihubungkan
dengan konsep mobil yang sebelumnya. Tapi, andaikan sekarang kita parkir di tepi
pantai, dan mendapati roda mobil kita terbenam di pasir yang halus. Masalah ini
diselesaikan dengan skema dari pengalaman di medan lain yang mengharuskan dijual
untuk menunjang: seperti perilaku pasang, cara untuk membuat permukaan yang
kuat di atas pasir. Skema yang lain yang sudah kita miliki, menjadi kesempatan
paling baik untuk meniru untuk kejadian yang tidak terduga.
SKEMA
SEBAGAI ALAT PEMBELAJARAN LEBIH LANJUT
Skema yang kita miliki sangat
diperlukan sebagai pelengkap pengetahuan selanjutnya. Hampir semua yang kita
pelajari bergantung pada sesuatu yang sudah kita ketahui sebelumnya. Untuk mempelajari
desain pesawat terbang kita harus tahu aerodinamis, yang bergantung pada
kalkulus, yang memerlukan pengetahuan tentang aljabar, yang bergantung pada
aritmatika. Untuk mempelajari kemajuan psikologi, dibutuhkan biokimia yang
memerlukan pengetahuan tentang kimia dasar. Hal ini dan semua pembelajaran yang
lebih tinggi bergantung pada dasar skema dari membaca menulis, dan berbicara
(atau, kecuali mengomunikasikan dengan cara lain) dengan bahasa asli kita.
Prinsip ini (ketergantungan
pembelajaran baru pada skema yang cocok yang sudah ada) adalah generalisasi
dari kedua prinsip pembelajaran konseptual yang dinyatakan dalam bab 1 halaman 30. Dalam bentuk umum, banyak hal baru
yang penting yang kurang kita sadari ketika kita berpusat pada konsep
pembelajaran tertentu, meskipun dengan belajar dari pengalaman yang lalu kita
menjadi lebih paham pada konsep tersebut. Sebagai perkenalan, konsep ini akan
berguna untuk melihat sebuah percobaan yang bertujuan untuk mencoba mengisolasi
faktor skema dalam belajar, lebih tepatnya untuk mengetahui seberapa besar
perbedaan skema yang cocok untuk membuat jumlah materi baru yang dipelajari
lebih banyak.
Untuk tujuan percobaan tersebut,
sebuah skema buatan dipikirkan, agak mirip bahasa isyarat Red Indian. Pada hari
pertama subjek yang dipelajari adalah arti dari enam tanda dasar, seperti:
Pada
hari kedua, pengertian diberikan untuk memasangkan atau mengelompokkan tiga
simbol.
Arti
dari kelompok simbol ini dihubungakan dengan arti dari masing-masing simbol
tunggal, yang dapat diperiksa pembaca. Pada hari ketiga dan keempat, kelompok
yang diajarkan ditingkatkan, pengertiannya dihubungkan dengan kelompok kecil.
Berikut adalah beberapa contoh. (Catatan bahwa (( )) berarti jamak).
Tugas
terakhir pada hari keempat adalah mempelajari dua halaman simbol yang masing-masing
berisi seratus simbol pada sepuluh kelompok yang masing-masing mempunyai 8-12
simbol. Pada satu halaman, masing-masing kelompok diberikan sebuah arti yang
berkaitan dengan arti dari kelompok kecil, seperti contoh yang diberikan.
Halaman lain berisi kelompok-kelompok dengan arti yang sama untuk membandingkan
kelompok, tetapi tidak pada subjek. kelompok pembanding telah belajar simbol
yang sama tetapi mempunyai arti berbeda, dan ini sudah dibangun untuk sebuah
skema yang berbeda. Jadi tugas akhir mereka, masing-masing kelompok mempunyai
skema yang cocok untuk
satu
halaman. Dengan kata lain apa yang berarti untuk satu kelompok, bukan berarti
mempunyai arti pada kelompok lain, dan sebaliknya.
Ketika hasil pembelajaran dengan skema
dan menghapal dibandingkan, perbedaannya mencolok.
% (semua
subyek)
sekarang setelah 1 hari setelah 4 minggu
Skema 69 69 58
Rote 32 23 8
Pada
kasus ini, metode pembelajaran dengan skema dua kali lebih teringat dari pada menghapal,
ketika diuji setelah itu, pada empat minggu ke depan, proporsinya berubah 7
kali lipat. Belajar dengan skema tidak hanya belajar yang baik, tetapi lebih
baik untuk mempertahankan.
Secara objektif, dua halaman simbol
sama untuk semua pelajaran. Satu-satunya perbedaan adalah pada struktur mental
yang mereka miliki untuk belajar. Jelas oleh karena itu skema yang kita buat
pada awal pembelajaran akan sangat penting untuk mengetahui kemudahan atau
kesulitan untuk menguasai topik selanjutnya. Ketika belajar skematik kita tidak
hanya belajar lebih efisien, kita juga dapat menyiapkan alat mental untuk
menerapkan pendekatan yang sama untuk pembelajaran selanjutnya, di bidang
tersebut. Berikutnya menggunakannya untuk mengkonsolidasi isi skema dari awal.
Skema memberikan tiga kali lipat untuk mengingat.
Meskipun demikian, juga ada kerugian yang
mungkin untuk dipertimbangkan.
Pertama, jika tugas yang
dipertimbangkan dalam isolasi, skematik belajar mungkin memakan waktu lebih
lama. Sebagai contoh, aturan untuk memecahkan persamaan yang sederhana (lihat
halaman 86) dapat dihafal dalam waktu lebih dari yang dibutuhkan untuk mencapai pemahaman. Jadi jika semua orang
ingin belajar bagaimana melakukan pekerjaan tertentu, menghafal seperangkat aturan mungkin cara tercepat. Namun, jika seseorang
ingin maju, maka jumlah aturan yang harus dipelajari menjadi terus lebih memberatkan
sampai akhirnya tugas menjadi berlebihan. Sebuah skema adalah lebih dari pada sebuah
konsep. Sebuah skema, bahkan lebih dari sebuah konsep, sangat mengurangi ketegangan kognitif. Selain itu, dalam sebagian besar skema matematis,
semua itu dimaksudkan untuk menyalurkan ide mengaplikasikan matematika yang
secara umum. Menghabiskan waktu memproleh itu semua tidak hanya hasil
psikologi, tetapi hasil matematika. Konteks yang dimaksud adalah, psikologi
bagus maka matematika bagus.
Kerugian kedua lebih jauh. Sejak
pengalaman baru yang cocok menjadi skema yang
ada jauh lebih baik ingat,
skema memiliki efek yang sangat selektif pada
pengalaman kita. Apa yang tidak masuk
ke dalam itu sebagian besar
tidak belajar sama
sekali, dan apa yang dipelajari
sementara segera dilupakan.
Jadi, tidak hanya skema cocok handicap
besar pembelajaran masa depan kita, tapi bahkan skema yang telah
nilai nyata dapat berhenti menjadi begitu jika pengalaman baru ditemui,
ide-ide baru harus diperoleh, yang tidak
dapat dipasang ke yang sudah ada skema. Skema
dapat sebagai kuat penghalang seperti bantuan
jika hal itu terjadi untuk menjadi
yang tidak cocok.
Hal ini membawa
kita ke pertimbangan adaptasi pada tingkat yang baru. Sejauh skema telah
dilihat sebagai instrumen utama
adaptibility, menjadi organisasi yang paling efektif dari pengetahuan yang ada baik untuk memecahkan masalah baru dan untuk memperoleh
pengetahuan baru (dan
dengan demikian untuk memecahkan masih
lebih banyak masalah baru di masa depan).
Tapi itu sangat kuat
sekarang muncul sebagai kejatuhan
potensinya, dalam kecenderungan kuat muncul terhadap diri-pelestarian
skema yang ada. Jika
situasi kemudian ditemui
yang mereka tidak memadai, stabilitas ini
skema menjadi kendala untuk adaptasi. Apa
yang kemudian diperlukan adalah perubahan struktur dalam skema: mereka
sendiri harus beradaptasi. Alih-alih
stabil, tumbuh skema
dengan cara yang individu
mengatur pengalaman masa lalu dan
asimilasi data baru, rekonstruksi diperlukan sebelum situasi baru dapat
dipahami. Hal ini mungkin sulit, dan
jika gagal, pengalaman baru tidak lagi dapat berhasil
ditafsirkan dan perilaku adaptif rusak - individu
tidak bisa mengatasi.
Contoh sehari-hari akan menggambarkan ide, setelah beberapa
contoh matematika akan diberikan.
Awal kehidupan, seorang anak belajar untuk membedakan antara rekan-rekan dan orang
asing. Skemanya dari asing adalah bahwa dari
orang yang datang dari luar negeri,
yang berbicara bahasa Inggris dengan
aksen yang berbeda dari sendiri, mungkin hanya dengan
kesulitan, yang bahasa sendiri
adalah novel dan biasanya tidak bisa dimengerti, modus yang berpakaian dan penampilan
pribadi yang slightlyor sangat berbeda. Individu asing baru dan kelas
baru - orang-orang
dari negara-negara yang belum
pernah mendengar tentang -
mudah berasimilasi dengan konsep ini yang mengarah ke ekspansi skema nya.
Tapi kira sekarang
bahwa ia mengambil liburan di
luar negeri dengan orang tuanya
dan menemukan bahwa ia sendiri digambarkan sebagai
orang asing. Baginya, ini adalah dimengerti. Penduduk
lokal adalah orang asing; ia Inggris! Sebelum
dia bisa memahami pengalaman baru ini -
berasimilasi ke skema
nya - skema
itu sendiri harus direstrukturisasi. Idenya asing harus menjadi
yang orang di
negara yang tidak mereka sendiri.
Tidak hanya konsep baru ini memungkinkan dia untuk
memahami pengalaman baru dan
berperilaku tepat; itu termasuk konsep awal sebagai
kasus khusus. Ini adalah jenis terbaik
dari rekonstruksi.
Skema adalah nilai tersebut untuk seorang
individu yang resistensi terhadap
perubahan itu bisa menjadi besar, dan keadaan atau individu memaksakan tekanan untuk mengubah mungkin
dialami sebagai ancaman - dan menanggapi
sesuai. Bahkan jika itu adalah kurang dari ancaman rekonstruksi
bisa sulit, sedangkan asimilasi pengalaman baru
untuk skema yang ada memberikan perasaan penguasaan dan biasanya dinikmati.
Salah satu skema matematika paling
dasar yang kita pelajari adalah bahwa sistem nomor
alam - set menghitung angka bersama dengan operasi penjumlahan
dan perkalian. setelah belajar
menghitung sampai sepuluh, anak cepat berkembang
menjadi dua puluh, dan bersemangat untuk melanjutkan proses. Menambahkan nomor angka
tunggal dengan bantuan bahan
beton, segera belajar.
Memperluas ini untuk penambahan nomor dua
digit membutuhkan, pertama, pemahaman tentang sistem kami penomoran berdasarkan
nilai tempat, tetapi sekali
ini telah dikuasai, penambahan tiga, empat,
lima angka-angka
lagi perpanjangan langsung . Perkalian
adalah seperti penambahan berulang,
perkalian panjang meluaskan perkalian sederhana.Seluruhnya, proses
adalah salah satu ekspansi.
Ini adalah masalah lain ketika angka pecahan yang
ditemukan. ini merupakan sistem
nomor baru, bukan perpanjangan satu yang
dikenal sudah. Sistem penomoran yang berbeda dalam
dirinya sendiri dan memiliki karakteristik baru; misalnya jumlah
tak terbatas fraksi yang berbeda
dapat digunakan untuk mewakili jumlah
yang sama. Perkalian tidak bisa lagi dipahami dalam hal penambahan berulang. Sebelum angka pecahan dapat
dipahami, rekonstruksi utama
jumlah skema diperlukan.
beberapa orang, inded, menjalani hidup tanpa pernah benar-benar memahami angka pecahan, dan menyalahkan kecil untuk mereka. Guru
mereka mungkin tidak pernah
mengerti mereka baik, dan
kesulitan rekonstruksi khusus ini
adalah seperti yang akan membutuhkan
seorang anak dari tingkat jenius untuk
mencapainya tanpa bantuan pada
usia ketika tugas ini ditemui.
Sejarah matematika
berisi beberapa contoh menarik yang menunjukkan kesulitan dalam rekonstruksi
memperkenalkan system bilangan baru. Ketika Pythagoras menemukan bahwa panjang
sisi miring dari segitiga siku-siku tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan
rasional. Dia sungguh telah ahli di sekolahnya untuk merahasiakan tentang
ancaman ini untuk keberadaan jalan berfikirnya. Bell (1937) mengatakan: 'ketika angka negatif
pertama kali muncul dalam pengalaman, seperti dalam debit bukan kredit, mereka
sebagai bilangan, yang berada dalam kesamaan kebencian yang ‘tidak alami’
sesuatu yang aneh yang nantinya disebut sebagai bilangan imajiner yaitu √(-1) ,√(-2)
,
dst,.... Sistem bilangan Hindu-Arab dari bilangan asli juga menemukan
perlawanan besar ketika pertama kali diperkenalkan ke Eropa pada abad ketiga
belas, dan di beberapa tempat penggunaannya bahkan dibuat ilegal. Tidak
terkatakan, tidak asli, illegal-Ini adalah cara dimana peralatan kerja
matematika yang biasa sekarang ini telah semuanya terkarakterisasi oleh
beberapa matematikawan yang telah lebih dulu menemukannya. Tapi sekarang kita
tahu bahwa yang terpenting dari skema bagi kita adalah, kita dapat mulai
mengerti pertahanan alami dari reaksi ini pada ide-ide baru dengan yang
berusaha menyingkirkannya.
MEMAHAMI
Kita sekarang ini dalam posisi untuk
menyatakan bahwa kita berarti telah memahami. Untuk memahami sesuatu berarti
mengasimilasi ke dalam skema yang tepat . Ini menjelaskan sifat subjektif dari
pemahaman, dan juga menjelaskan bahwa ini biasanya tidak semua. Dalam hal ini,
skema yang tepat melibatkan ide tentang percikan listrik , sehingga tidak
sampai abad kedelapan belas bahwa setiap pemahaman yang benar itu mungkin.
Langkah pertama dan utama diambil oleh Benjamin Franklin , yang berasimilasi
konsep tentang badai yang berkaitan dengan muatan listrik . Pemahaman yang
lebih lengkap , melibatkan pengetahuan tentang proses ionisasi dalam atmosfer
dengan skema yang lebih luas . Apa yang terjadi dalam kasus seperti ini adalah
bahwa skema dasar menjadi membesar , dan titik awal asimilasi kebisingan,
kilatan petir ke percikan listrik. Organisasi yang lebih baik dalam skema
internal juga dapat meningkatkan pemahaman, dan jelas tidak ada tahap di mana
proses ini selesai. Salah satu hambatan bagi peningkatan lebih lanjut dari
pemahaman adalah keyakinan bahwa salah satu sudah berdiri sepenuhnya.
Kita
bisa juga melihat bahwa dari sumber yang mendalam hukuman menyebutkan lebih
dulu, hal ini urusan apakah atau tidak kita memahami sesuatu, adalah baik
ditemukan. Untuk subyek ini merasa kita memahami sesuatu, terbuka untuk lebih
dulu salah ini mungkin, adalah tanda yang umum bahwa kita sekarang sanggup untuk melakukan sewajarnya
dalam situasi kelas yang baru.
Perbedaan antara
kemampuan beradaptasi yang berdasarkan aturan, dan hasil dari pemahaman, telah
baik ditunjukkan secara eksperimen, oleh Bell (1967). Contoh ini dipilih dari
cabang matematika (topologi) yang mungkin baru bagi pembaca, dan jika
menginginkan, cobalah untuk diri sendiri. Ini memiliki keuntungan bahwa skema yang
relevan dapat cepat dibangun sedangkan sebagian dari matematika akan memakan
waktu lebih lama.
Dua diagram diatas
menunjukkan relasi topologi, yang mana titik yang terjadi disebut gabungan
titik potong garis lurus atau garis lengkung yang disebut busur. Untuk melintasi relasi berarti mengikuti
jalan terus-menerus, meliputi setiap busur relasi sekali dan hanya sekali.
Beberapa percobaan akan menunjukkan bahwa relasi (1) dapat dilalui, sedangkan
(2) tidak bisa. Berikut adalah dua contoh.
Dengan coba-coba, ini
mudah untuk menemukan relasi (4) yang dapat dilalui dan pembaca akan segera
menjadi yakin bahwa (3) tidak bisa, meskipun hal ini tidak sama dengan
membuktikan bahwa tidak mungkin.
Sebagai relasi menjadi
lebih kompleks, metode trial and error menjadi lebih melelahkan dan
kesimpulannya, terutama jika negatif, membawa sedikit keyakinan. Namun ada
aturan sederhana. Untuk setiap titik, menghitung berapa banyak busur ada yang
bertemu di sana. Bilangan ini disebut titik terurut. Untuk jangka pendek kita
mengatakan bahwa titik puncak ganjil atau genap menurut apakah terurut ganjil
atau genap.
Aturan : relasi dapat
dilintasi jika dan hanya jika titik potong ganjil adalah nol atau dua. Dengan
aturan ini adalah mudah untuk memverifikasi relasi (6) yang dapat dilalui,
mulai di pojok kiri atas dan (5) tidak bisa. Relasi yang
lebih rumit menyajikan
sedikit kesulitan besar.
Dua kelompok anak usia
11 tahun diperkenalkan dengan ide-ide di atas. Kelompok 1 diberi peraturan ini
, dan juga penjelasan ( yang akan diselenggarakan dari pembaca pada tahap ini )
dari alasan untuk aturan. Kelompok 2 diberi hanya aturan. Kedua kelompok
anak-anak kemudian diberi 12 masalah semacam ini, termasuk beberapa relasi
cukup rumit. Semua anak dari kedua kelompok mendapat semua masalah yang tepat.
Pada tahap ini, seseorang tidak bisa membedakan dengan hasil mereka antara
anak-anak yang mengerti alasan bagi
aturan dan mereka yang tidak.
Lebih lanjut satu set
masalah relasi ini kemudian disampaikan kepada 2 kelompok , dengan satu
perbedaan kecil. Berikut adalah 4 relasi khas dari set.
Masalah baru adalah (a)
mencoba untuk menemukan mana relasiyang bisa dilalui seperti sebelumnya, tapi
kali ini berakhir di titik awal dan (b) untuk mencoba menemukan aturan untuk
melakukan hal ini. Sebelum membaca lebih lanjut , pembaca mungkin peduli untuk
mencobanya sendiri.
Kelompok ketiga, tanpa
pengalaman sebelumnya masalah ini dan tidak ada pengetahuan tentang aturan,
juga diberikan tugas baru ini. Hasilnya , dalam hal anak-anak menemukan aturan
baru yang benar, adalah :
Kelompok 1
(aturan pertama dengan pemahaman)
|
9 anak
dari 12 anak
|
75 %
|
Kelompok 2
(aturan pertama tanpa pemahaman)
|
3 anak
dari 10 anak
|
30 %
|
Kelompok 3
(tidak memiliki pengetahuan
sebelumnya)
|
2 anak
dari 12 anak
|
17 %
|
Bahwa hasil awal dari
kelompok 1 dan 2 telah dibedakan, ini masalah baru menunjukkan kesenjangan yang
besar antara mereka. 75 % dari kelompok pertama lebih mampu beradaptasi dengan
tugas baru, tetapi hanya 30 % yang kedua, yang melakukan sedikit lebih baik
daripada group tanpa pengalaman sebelumnya.
Sekarang ambil selembar
kertas polos dan salin di atasnya hanya relasi (1), hal 30. Selanjutnya,
menggambar relasi dimulai pada sebarang titik, tanpa mengangkat titik pensil
Anda dari kertas (Ini menunjukkan melalui). Perhatikan bahwa setiap kali Anda
memasukkan dan meninggalkan titik, Anda menambahkan dua busur yang bertemu di
sana, yang Anda meningkatkan agar vertex oleh dua. Lakukan hal yang sama untuk
relasi (4) dan untuk relasi (6) dimulai di pojok kiri.
Penjelasan ini, yang
tentu saja lebih singkat dari yang diberikan kepada anak-anak, akan diharapkan
memberi petunjuk yang cukup bagi pembaca untuk memahami aturan pertama,
diberikan di halaman 31. Jika Anda sukses dalam menemukan aturan kedua tanpa
penjelasan, Selamat! Jika tidak, seharusnya sekarang menjadi lebih mudah.
Dalam saat itu ketika
disebut mesin pembelajaran menjadi terjual. Saya datang di program mahal yang
disebut " Pengantar Topologi ", dipublikasikan dengan mesin
pengajaran mahal, di mana aturan pertama diberikan, dan tanpa penjelasan .
Dalam bentuk ini, tidak hanya sulit untuk beradaptasi dengan masalah jenis
kedua. Hal ini tidak memungkinkan seseorang untuk menjawab pertanyaan terkait
lainnya seperti " Bagaimana kita bisa yakin bahwa aturan ini
relasi?", Dan terutama "Bagaimana bisa yakin bahwa relasi tersebut
tidak dapat dilalui oleh seseorang cukup pintar?" Semua pertanyaan ini
dapat dijawab oleh seseorang yang telah memahami penjelasan dari aturan, ada
dengan menunjukkan lebih lanjut adaptasi lebih besar dari skema untuk masalah baru
.
PENERAPAN PADA
PEMBELAJARAN MATEMATIKA
Inti penting dari skema
sebagai media pembelajaran bahwa tidak tepat sejak awal skema akan membuat
pemahaman terhadap sesuatu yang lebih sulit. Boleh jadi tidak mungkin.
“Tidak tepat” juga
dimasukkan tidak ada. Belajar memanipulasi simbol-simbol untuk memperoleh
jawaban mungkin awalnya sulit dilakukan pada awal pembelajaran konseptual.
Pembelajar tidak akan dapat membedakan dua hal jika tidak memiliki pengalaman
pemahaman matematika. Kita tahu bahwa simbol adalah sesuatu yang dapat dilihat
atau didengar. Untuk mengetahui suatu konsep tepat atau tidak, perlu dilakukan
pembuktian, bukan perhitungan mekanik. Siswa yang cerdas memiliki kemampuan
menghafal yang luar biasa, tetapi tetap saja yang terpenting adalah pemahaman
konsep. Hal ini bukan berarti menghafal tidak diperlukan, untuk kasus tertentu
menghafal juga perlu. Pemahaman skema jangka panjang sangat diperlukan. Guru
harus melihat jauh melampaui tugas ini dari peserta didik, dan sedapat mungkin
mengkomunikasikan ide-ide baru dalam sedemikian rupa sehingga skema jangka
panjang yang tepat terbentuk. Terlepas dari kekurangannya, skema di atas masih
terbandingkan lebih baik daripada kumpulan aturan tanpa alasan yang kadang-kadang
diajarkan , karena tidak masuk akal , sehingga berpengaruh terhadap keyakinan
keseluruhan dalam matematika sebagai kegiatan yang berarti .
Mungkin juga terkadang
sulit untuk memilih antara skema awal yang mudah tapi jangka pendek, dan yang
sulit tetapi jangka panjang.
Solusi dari suatu persamaan, untuk
contoh terkadang berdasarkan ide dari timbangan. Jika kita tambahkan atau
kurang dari berat yang sama dalam masing-masing panci, akan tetap seimbang, dan
kita bisa menemukan berat yang tepat untuk menyeimbangkan berat yang tidak
diketahui. Model ini juga membenarkan ‘mengambil bilangan untuk sisi yang lain
dan merubah tanda’, kita mendapat hasil yang sama dari penjumlahan, 3 kg untuk
sisi panci sebelah kiri atau mengambil ini dari panci sebelah kanan.
Pada
tahap awal, skema sederhana ini mengagumkan. Ini memang mempunyai kelemahan
mengenai x sebagai kuantitas yang belum diketahui yang kita harus menemukannya,
yang mana bukan konsep dasar matematika, bukan sebagai variabel, tetapi kelemahan
skema ini ‘menyeimbangkan dua sisi’ tidak berlaku untuk persamaan seperti
Guru harus melihat jauh melampaui tugas
saat ini sesuai dengan tugasnya sebagai pengajar, dan dapat menyampaikan
ide-ide baru sebagai jalan terbentuknya skema janga panjang yang tepat.
Meskipun kekurangannya,
skema di atas kadang-kadang diajarkan, lebih baik dari pada bermacam rumus
tanpa bukti. karena ini pengertian dan koleksi kontribusi untuk membangun
kepercayaan dalam matematika sebagai suatu keseluruhan yang masuk akal. Hal ini
juga dapat menjadi salah satu yang sulit untuk memilih antara mudah tetapi
jangka pendek awal dan keras tetapi jangka panjang. Ini sungguh tidak sama
seperti halnya pilihan kita saat berbelanja menghadapi sesuatu yang murah
tetapi tidak tahan lama dan kadang-kadang lebih mahal tetapi tahan lama, karena
kita tidak bisa membuang skema awal kita. Kita dapat mengkonstruk skema,
seperti yang kita lihat, mungkin pertamanya sulit. Ini jadi pilihan yang tidak
selalu mudah. Secara umum, gagasan jangka panjang tidak selalu sulit untuk
mempelajarinya, tetapi perlu lebih keras untuk menemukan awalnya. Penyampaian
ini agak sulit dilakukan dari pelajar ke guru.
Tanggung jawab guru
pada tahap awal pembelajaran sangat besar. Mereka harus membuat pembelajaran
skema, bukan hanya menghafal manipulasi simbol, saat berlangsung pembelajaran.
Mereka harus tahu mana tahap yang hanya memerlukan asimilasi dan kapan
rekonstruksi diperlukan, karena pada tahap terakhir harus menjadi lebih lambat
dan kemajuan lebih hati-hati harus diperiksa. Dan mereka harus merencanakan
secara jangka panjang skema yang akan paling mudah diadaptasi dengan masa depan
serta sesuai kebutuhan.
Untuk memenuhi
sepenuhnya kebutuhan terakhir adalah mustahil. Tingkat sekarang perubahan dalam
matematika, dan penggunaannya, adalah seperti yang ada bisa tahu masa depan
peserta didik matematika akan menghadapinya. Dan tingkat perubahan meningkat.
Jadi apa yang terbaik untuk dilakukan?
Bagian pertama dari
jawaban tampaknya akan mencoba untuk meletakkan dasar yang terstruktur dengan
baik dari dasar ide-ide matematika yang peserta didik dapat membangun arah masa
depan menjadi penting: pertama, untuk menemukan diri sendiri, dan membantu
orang lain menemukannya; kedua, untuk mengajari mereka selalu menjadikan ini
untuk diri mereka sendiri; dan ketiga, mengajar mereka untuk siap
merekonstruksi skema-untuk mereka menghargai nilai ini sebagai alat kerja, tetapi
selalu bersedia untuk menggantikan mereka dengan yang lebih baik. Yang pertama
adalah mengajar matematika; kedua dan ketiga mengajar anak-anak untuk belajar
matematika. Hanya dua yang terakhir menyiapkan anak untuk masa depan yang belum
diketahui.
