Deret Geometri Konvergen (Tak Hingga)

Deret Geometri Kovergen atau biasa disebut Deret Geometri Tak Hingga, yang merupakan materi lanjutan dari Barisan dan Deret Geometri. Materi ini langganan lho muncul di UN, SBMPTN bahkan sampai ke tingkat Olimpiade.

Mind Map Deret Geometri Konvergen (Tak Hingga)

Ambil barisan apapun, seperti barisan angka segitiga t1=1, t2=3, t3=6, ...

Jumlah angka barisan segitiga berturut-turut akan membentuk barisan baru sebagai berikut:

S1 = t1 = 1

S2 = t1 + t2 = 1 + 3 = 4

S3 = t1 + t2 + t3 = 1 + 3 + 6 = 10

dan seterusnya.

Barisan tersebut dinamakan barisan asli.
Melihat bahwa S2=S1+t2, S3=S2+t3, .... Lambang ini dapat digunakan untuk memberikan definisi induktif jumlah barisan.

Untuk barisan Ui, jumlah barisan Si=U1+⋯+Ui didefinisikan oleh S1= U1 dan S(i+1)=Si+U(i+1).
Barisan geometri mempunyai jumlah barisan yang penting. Ini adalah empat contoh, masing-masing dengan suku pertama a=1.

a. r = 3

U_i	1	3	9	27	81	243	729	...
S_i	1	4	13	40	121	364	1093	...

b. r = 0.2

U_i	1	0.2	0.04	0.008	0.0016	0.000 32	0.000 064	...
S_i	1	1.2	1.24	1.248	1.249 6	1.249 92	1.249 984	...

c. r = - 0.2

U_i	1	-0.2	0.04	-0.008	0.001 6	-0.000 32	0.000 064	...
S_i	1	0.8	0.84	0.832	0.833 6	0.833 28	0.833 344	...

d. r = -3

U_i	1	-3	9	-27	81	-243	729	...
S_i	1	-2	7	-20	61	-182	547	...

Barisan jumlah untuk (b) dan (c) sangat berbeda dari yang lain. Kita akan menduga di (b) nilai-nilai Si semakin mendekati 1.25, tetapi tidak pernah mencapai 1.25. Hal ini dapat dibuktikan karena rumus untuk jumlah dari nilai n pertama Ui , dengan a=1 dan r=0.2,
$\frac{1-0.2^{n}}{1-0.2}=\frac{1-0.2^{n}}{0.8}=1.25(1-0.2^{n})$

Sekarang dapat membuat $0.2^{n}$ sekecil yang diinginkan dengan mengambil n cukup besar, dan lambang dalam tanda kurung sangat mendekati 1. Meskipun tidak pernah sama dengan 1. Dapat dikatakan bahwa jumlahnya cenderung terbatas 1.25 sebagai n cenderung tak terhingga.
Sepertinya jumlah di (c) cenderung 0.833.33... (desimal berulang untuk $\frac{5}{6}$ ) n cenderung tak terbatas, tetapi nilai-nilai bergantian atas dan bawah nilai batas. Hal ini karena rumus jumlah tersebut.

$\frac{1-(-0.2^{n})}{1-(-0.2)}=\frac{1-(-0.2^{n})}{1.2}=\frac{5}{6}(1-(-0.2^{n}))$

Dalam formula ini, lambang $(-0.2)^{n}$ adalah bergantian positif dan negatif, sehingga $1-(-0.2)^{n}$ bergantian atas dan dibawah 1.

Dua barisan lainnya, yang rumus penjumlahannya (a) $\frac{1}{4}(3^{n}-1)$ dan (d) $\frac{1}{4}(1-(-3)^{n})$ , tidak cenderung terbatas. Jumlah (a) dapat dibuat sama besar dengan mengambil n cukup besar; dikatakan menyimpang hingga tak terbatas sebagai n cenderung tak terhingga. Jumlah (d) juga dapat dibuat besar sesuai keinginan; barisan jumlah dikatakan berkisar tak terbatas.

Lambang $r^{n}$ di lambang jumlah $a(\frac{1-r^{n}}{1-r})$ yang menentukan jumlah cenderung terbatas. Jika $\left |r \right |>1$ , kemudian $\left |r^{n} \right |$ meningkat tanpa batas; tetapi jika $\left | r \right |<1$ , kemudian $\left |r^{n} \right |$ cenderung ke 0 dan jumlah cenderung ke nilai $\frac{a(1-0)}{1-r}=\frac{a}{1-r}$

Selama $\left | r \right |<1$ bahkan jika r sangat mendekati 1, r menjadi sangat kecil jika n cukup besar; misalnya, jika r = 0.9999 dan n = 1 000 000, kemudian $r^{n}=370\times 10^{-44}$

Contoh Soal :

1. Supaya deret geometri $1+^{3}\log (x-1)+^{3}\log^{2} (x-1)+...$ konvergen maka tentukan nilai x yang memenuhi !

Penyelesaian :

Syarat deret geometri konvergen adalah $\left | r \right |<1$ atau -1 < r < 1

$r=\frac{^{3}\log (x-1)}{1}=^{3}\log (x-1)$ karena (-1 < r < 1)

$-1<^{3}\log (x-1)<1$

$\Leftrightarrow ^{3}\log 3^{-1}<^{3}\log (x-1)<^{3}\log 3^{1}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}<(x-1)<3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}+1<(x-1)+1<3+1$

$\Leftrightarrow \frac{4}{3}<x<4$

2. Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai yang datar dari ketinggian 5 m. setiap kali setelah bola itu memantul, ia mencapai ketinggian 3/4 dari ketinggian yang dicapai sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola tenis tersebut sampai berhenti!

Penyelesaian : Untuk bentuk soal ini, Ketinggian awal tidak dijadikan suku pertama deret geometri.

Untuk Suku pertama digunakan ketinggian pada pantulan pertama

$a=\frac{3}{4}\times 5=\frac{15}{4}$