BARISAN DAN DERET GEOMETRI MATEMATIKA

Mind Map Barisan dan Deret Geometri Matematika

A. BARISAN GEOMETRI

Barisan geometri adalah suatu barisan dengan pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

Bentuk umum dari barisan geometri adalah :

$U_{1},\, U_{2},\, U_{3},...U_{i}\,\: atau\, a,\, ar,\, ar^{2},...dst$

Keterangan:
U1 = a disebut suku pertama
U2 = ar disebut suku kedua

U3 = $ar^{2}$ disebut suku ketiga
Un= suku ke-n barisan geometri

Jika suku pertama U1, dinyatakan dengan adan perbandingan dua suku berurutanadalah rasio yang dinyatakan dengan r dan suku ke-n dinyatakan dengan Ui, maka
kita dapat merumuskanya dengan:

$\large \frac{U_{2}}{U_{1}}=r\Rightarrow U_{2}=U_{1}\, r=ar$

$\large \frac{U_{3}}{U_{2}}=r\Rightarrow U_{3}=U_{2}\, r=ar.r=ar^{2}$

$\large \frac{U_{4}}{U_{3}}=r\Rightarrow U_{4}=U_{3}\, r=ar^{2}.r=ar^{3}$

Dari bentuk di atas, kita peroleh suatu barisan geometri, pada umumnya sebagai berikut,

$\large \frac{U_{n+1}}{U_{n}}=r\Rightarrow U_{n+1}=U_{n}\, r$

Sebuah barisan geometri adalah barisan yang dilambangkan oleh u1=a dan u(n+1)=run, dimana n∈N dan r≠0 atau 1. Konstanta r disebut rasio barisan. Untuk lebih mudah rumus suku ke-n yaitu $U_{n}=ar^{n-1}$

Contoh barisan geometri :

a. 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4,... ( rasio = 1/2)

b. -1, 2, -4, 8, -16, ...(rasio = -2)

Contoh Soal :

1. Supaya barisan (2k - 5), (k - 4), 1/5(k - 4),... menjadi barisan geometri maka tantukan nilai k!

Penyelesaian :

Sesuai dengan definisi Barisan Geometri, pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
Misal : (2k - 5) = U1, (k - 4) = U2, dan 1/5(k - 4) = U3

$\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{U_{3}}{U_{2}}$
$\frac{(k-4)}{2k-5}=\frac{\frac{1}{5}(k-4)}{(k-4)}$
$\frac{(k-4)}{2k-5}=\frac{1}{5}\Leftrightarrow 5(k-4)=1(2k-5)$
$\Leftrightarrow 5k-20 =2k-5$
$\Leftrightarrow 5k-2k =-5+20$
$\Leftrightarrow 3k =15$
$\Leftrightarrow k =5$

2. Tentukan Rumus Ke-n dari barisan geometri berikut : 3, 6, 12, 24,...!
Penyelesaian :
Diketahui a = 3,
$r=\frac{6}{3}=2$
$U{_{n}}=a.r^{n-1}$
$U{_{n}}=3.2^{n-1}=\frac{3}{2}2^{n}$

3. Tentukan suku ke-7 dari barisan geometri berikut : 2, 6, 18, 54,...!
Diketahui a = 2,
$r=\frac{6}{2}=3$
$U{_{n}}=a.r^{n-1}$
$U{_{7}}=2.3^{7-1}$
$U{_{7}}=2.3^{6}=1458$

B. Suku Tengah Barisan Geometri
Misal Ut adalah suku tengah dari barisan geometri sebagai berikut :
$U_{1},U_{2},U_{3},...,U_{t},...,U_{n-2},U_{n-1},U_{n}$ (syaratnya banyak barisan harus ganjil)
maka $t=\frac{n+1}{2}$ sehingga $U_{t}=ar^{t-1}$ menjadi
$U_{t}=ar^{\frac{n+1}{2}-1}=ar^{\frac{n-1}{2}}=\sqrt{a.ar^{n-1}}=\sqrt{a.U_{n}}{\color{DarkBlue} }$

Contoh Soal :
4. Diketahui barisan geometri sebagai berikut :
$\frac{1}{4},\frac{1}{2}, 1,...,64$
Tentukan suku keberapakah suku tengahnya!
Penyelesaian :
$U_{t}=\sqrt{a.U_{n}}$
$U_{t}=\sqrt{\frac{1}{4}.64}$
$\frac{1}{4}.r^{t-1}=4\,$
$a.r^{t-1}=4$
$\frac{1}{4}.r^{t-1}=4$
$\frac{1}{4}.r^{t-1}=4\, karena \, (r=2)$
$2^{t-1}=16$
$2^{t-1}=2^{4}$
$t-1=4 \leftrightarrow t=5$

C. Sisipan barisan Geometri
Misalkan antara dua suku berurutan barisan geometri disisipkan k buah bilangan sehingga terjadi barisan geometri yang baru sebagai berikut :
$\overset{\underbrace{a,.......................,ar}}{\emph{disisipkan \, sebanyak \, k\, bilangan}}$
maka $a,a{r}', a({r}')^{2},a({r}')^{3},...,a({r}')^{k}, ar$
karena barisan di atas adalah barisan geometri maka
$\mathbf{{\color{DarkBlue} \frac{ar}{a({r}')^{k}}={r}'\Rightarrow r={r}'^{k+1}\Rightarrow {r}'=(r)^{\frac{1}{k+1}}}}$

Contoh Soal :

5. Jika pada dua suku berurutan barisan geometri $\frac{1}{8}, 1,8,...$ disisipkan dua bilangan sehingga membentuk barisan geometri yang baru, maka tentukan suku ke-8 barisan geometri yang baru!
Penyelesaian :
Rasio (r) = 8
Rasio baru setelah disipkan dua bilangan
$(r')=8^{^{\frac{1}{2+1}}}(banyak \, bilangan \, yang \, disisikan\, dua\, bilangan\, maka \, k=2)$
(r') = 2
jadi barisan geometri yang baru adalah
$\frac{1}{8},{\color{Blue} \mathbf{\frac{1}{4},\frac{1}{2}}},1,{\color{Blue} \mathbf{2,4}},8,...$
Suku ke-8 barisan geometri yang baru dengan
$a=\frac{1}{8}\, dan\, r=2$
$U_{8}=\frac{1}{8}.2^{(8-1)}$
$U_{8}=\frac{1}{2^{3}}.2^{7}$
$U_{8}=16$

B. DERET GEOMETRI

Jika $a,\, ar,\, ar^{2},...\, ar^{n-1}$ adalah barisan geometri, maka $a+ar+ar^{2},...+ar^{n-1}$ disebut deret geometri. Deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku dari barisan geometri.

Kalau jumlah n suku pertama deret geometri kita lambangkan dengan Sn, maka dapat ditulis:

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3},...+ar^{n-1}$

Kalikan persamaan dengan r, diperoleh

$rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4},...+ar^{n}$

Kurangkan kedua persamaan, diperoleh

$S_{n}\, =a+ar+ar^{2}+ar^{3},...+ar^{n-1} \\ rS_{n} =ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4},...+ar^{n-1}+ar^{n}$

------------------------------------------------------- ---

$\\ S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n} \\ S_{n}(1-r)=a(1-r^{n}) \\ S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{(1-r)}$

Keterangan:
Sn : jumlah i suku deret geometri
a : suku pertama
r : rasio
n : banyak suku (nomor suku)

Contoh soal :

6. Seorang anak tinggal 200 meter dari sekolah. Dia berjalan 60 meter di menit pertama, dan di setiap menit berikutnya dia berjalan 75% dari jarak ia berjalan di menit sebelumnya. Tunjukkan bahwa ia membutuhkan waktu antara 6 dan 7 menit untuk sampai ke sekolah.
Penyelesaian :
Jarak berjalan di pertama, kedua, ketiga, ..., ke-n menit adalah
$60 m,\, 60\times 0.75 \, m,\, 60\times 0.75^2 \, m, ..., 60\times (0.75)^{n-1}$ Dalam n menit pertama anak berjalan Sn meter, dimana

$\mathbf{S_{n}=60 m+60\times 0.75+60\times (0.75)^2 +...+60\times (0.75)^{n-1}}$
$\mathbf{S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\frac{60(1-(0.75)^{n})}{1-0.75}=\frac{60(1-(0.75)^{n})}{0.25}=240(60(1-(0.75)^{n})}$

Dari rumus ini kamu dapat menghitung bahwa :

$S_{6}=240(1-0.75^{6})=240(1-0.177...)=197.2...m \\ S_{7}=240(1-0.75^{7})=240(1-0.133...)=207.9...m$

Jadi dia belum sampai setelah 6 menit, tapi (jika dia pergi berjalan) dia akan pergi lebih dari 200 m di 7 menit. Artinya, dia membutuhkan waktu antara 6 dan 7 menit untuk berjalan kaki ke sekolah.

Contoh Soal :
7. Pada deret geometri diketahui U2 = 6 dan U5 = 162 maka tentukan jumlah 6 suku pertama!
Penyelesaian :
Rumus Cepat mencari Rasio :
${\color{Red} \mathit{\boldsymbol{r=\sqrt[a-b]{\frac{U_{a}}{U_{b}}}}}}$
Keterangan :
r = rasio
Ua = suku atas
Ub = suku bawah
Sehingga diperoleh :
$r=\sqrt[5-2]{\frac{U_{5}}{U_{2}}}$
Suku atas U5 (a=5) dan suku bawah U2 (b=2)

$r=\sqrt[3]{\frac{162}{6}}$
$\Leftrightarrow r=\sqrt[3]{27}$
$\Leftrightarrow r=3$

selanjutnya kita tentukan suku pertama (a)

U2 = a.r

U2 = a.3

a = 2

Jumlah 6 suku pertama diperoleh dengan a = 2 dan r = 3 adalah :

$S_{6}=\frac{2(1-3^{6})}{1-3}$

$S_{6}=\frac{2(1-729)}{-2}$

$S_{6}=728$

8. Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian sehingga potongan-potongan tali tersebut membentuk barisan geometri. Panjang tali terpendek 4 cm dan potongan tali terpanjang 64 cm. Tentukan Panjang tali semula! (Soal Ujian Nasional 2014)

Penyelesaian :

Andaikan tali yang dipotong U1, U2, U3, U4, U5

$r=\sqrt[5-1]{\frac{U_{5}}{U_{1}}}$
Suku atas U5 (a=5) dan suku bawah U1 (b=1)
$r=\sqrt[4]{\frac{64}{4}}$
$\Leftrightarrow r=\sqrt[4]{16}$
$\Leftrightarrow r=2$
Panjang tali semula sama dengan Jumlah 5 suku pertama (S5) :

$S_{5}=\frac{4(1-2^{5})}{1-2}$

$S_{5}=\frac{4(1-32)}{-1}$

$S_{5}=124$

9. Pada deret geometri rasio r dengan $S_{n}=(3x-1)-(x+1).r^{n}$ adalah jumlah n suku pertama deret geometri maka nilai x adalah...
Penyelesaian:
$S_{1}=(3x-1)-(x+1).r^{1}$
$S_{1}=U_{1}$
$S_{2}=U_{1}+U_{2}$
$S_{2}=(3x-1)-(x+1).r^{2}$
$rasio(r)=\frac{S_{2}-S_{1}}{S_{1}}=\frac{(U_{2}+U_{1})-U_{1}}{U_{1}}$
$\Leftrightarrow r=\frac{(3x-1)-(x+1)r^{2}-((3x-1)-(x+1)r)}{((3x-1)-(x+1)r)}$
$\Leftrightarrow r=\frac{-(x+1)r^{2}+(x+1)r}{((3x-1)-(x+1)r)}$
$\Leftrightarrow ((3x-1)-(x+1)r)r=-(x+1)r^{2}+(x+1)r$
$\Leftrightarrow (3x-1)r-(x+1)r^{2}=-(x+1)r^{2}+(x+1)r$
$\Leftrightarrow (3x-1)r=(x+1)r$
$\Leftrightarrow (3x-1)=(x+1)$
$\Leftrightarrow 3x-x=1+1$
$\Leftrightarrow 2x=2$
$\Leftrightarrow x=1$

Untuk Rumus cepat pada soal ini adalah
Perhatikan soal $S_{n}=(3x-1)-(x+1).r^{n}$
cukup menyamakan 3x - 1 = x + 1 maka akan diperoleh x = 1

Cukup sekian Pembehasan Materi Barisan dan Deret Geometri, semoga mudah dipahami sahabat Mathematics.
Materi Selanjutnya yang akan dibahas adalah Deret Geometri Tak Hingga

CARI

BARISAN DAN DERET GEOMETRI MATEMATIKA

Related Posts :